אינטואיציוניזם

הרשומה הזו מסכמת הרצאה שעשיתי שנועדה לתת הכרות עם הפילוסופיה והמתמטיקה האינטואיציוניסטית. בשורה וחצי: האינטואיציוניזם הוא ענף במתמטיקה הטוען כי המתמטיקה המקובלת טועה באופן בסיסי הן פילוסופית והן מתמטית. לכן, האינטואיציוניזם מכיל בתוכו הן פילוסופיה של המתמטיקה והן מתמטיקה, המבקרות ומאתגרות את החשיבה המקובלת על מתמטיקה ועל לוגיקה. הטענה המוכרת ביותר של האינטואיציוניסטים היא שאין להשתמש בהוכחות על דרך השלילה. ניסוח נכון יותר יהיה שהוכחות על דרך השלילה מראות משהו, אבל לא את הדבר המקובל בחשיבה הקלאסית על לוגיקה.

הבסיס לדיון – אפלטון וקאנט

נתחיל בהתבוננות בפוסטולאטים (הנחות) של אוקלידס ביסודות:

  1. ניתן למתוח קו ישר מכל נקודה לכל נקודה.
  2. ולהמשיך כל קטע ללא-גבול כקו-ישר.
  3. ולחוג מעגל סביב כל מרכז ובכל רדיוס.
  4. ושכל הזויות הישרות שוות זו לזו.
  5. אם קו ישר החותך שני ישרים נוספים, וסך הזויות הפנימיות שהוא יוצר איתם (מאותו צד) הוא קטן משתי זויות ישרות, אזי שתי הישרים, אם ימשכו לאינסוף, יפגשו בצד זה (ולא יפגשו בצד השני).

נשים לב לסגנון. הפעולות "המותרות" על מנת להוכיח משפט בגיאוטריה שקולות לפעולות בעולם. מתיחת קו, המשכת קטע. כולן מתארות פעולות ממש. כמעט כאילו הוכחת משפט בגיאומטריה שקולה לבניה של משהו. אבל ברור לנו שזה לא באמת אותו הדבר. הקטע הבא (שאני מוציא מההקשר המקורי) מגיע מתוך הפוליטאה של אפלטון (ספר ז', עמוד 527), ובו מספר סוקרטס על דיון שעשה על הקושי שלו עם דרך הניסוח של אוקלידס:

"והנה כל המנוסה בהנדסה [=בגיאומטריה] אך במעט", אמרתי אני, "לא יחלוק עלינו כשנטען, שטיבו של אותו המדע הריהו ההפך הגמור ממה שמסתמן מתוך דברי האנשים השולחים בו ידם".

"הכיצד?" אמר.

"הרי הם סחים בסגנון מגוחך ומצומצם עד מאד; שכן מדברים הם, כאילו יש בידיהם משום מעשה; וכאילו דבריהם לא באו אלא לשם פעולה, שגורים בפיהם ביטויים כגון, 'לרבע', 'למתוח' (מלבן על פני קו), 'לצרף' (צורה אל משנה) וכל היוצא בזה; ואילו לאמיתו של הדבר הרי העיסוק במדע זה כולו אינו אלא לשם הכרה. […] שהמדובר בהכרת מה-שהווה-לעולם, ולא – בהכרת מה שהולך-ומתהווה, והולך וכלה".

אני מצייר משולש על דף נייר. נניח כי אני מעוניין להוכיח שסך הזויות במשולש הוא 180^\circ. אני לא מתכוון למשולש הזה ספציפית, אלא למשולשים באופן כללי. במהלך ההוכחה אני לא באמת אשתמש בתכונות של המשולש הזה (מה שהולך ומתהווה עכשיו) אלא רק בהיותו משולש – במושג המשולש עצמו (מה שהווה לעולם). במילים אחרות, המתמטיקה לא בונה ולא ממציאה דבר, היא מגלה את מה שנכון עקרונית בלי קשר למה שאני עושה על הדף כאן ועכשיו. אפלטון יוסיף: זה רק אילוסטרציה לדבר האמיתי, ל-"אידיאת המשולש" עצמה.

אבל האמת שלא חייבים להשמע עד כדי כך מטאפיזיים כדי להסכים במידה מסוימת עם אפלטון. גם אם אתם מאמינים שאין באמת "אידיאת משולש" ושום דבר במתמטיקה מתעסק במה "שהווה לעולם" אלא רק במערכות פורמליות, אתם עדיין יכולים להסכים שהניסוח של אוקלידס לא אדיר. אנחנו באמת לא מתעסקים במשולש ספציפי. אנחנו יכולים להסכים עם אפלטון שאמת מתמטית היא כללית (גם אם מותנית). אם אתם מקבלים את האקסיומות של אוקלידס, המסקנות שלו נכונות באופן כללי ללא קשר לציורים שלי על הדף. יתר על כן, העובדה שציירתי ציור ספציפי של משולש וציירתי עליו קווים ואותיות יווניות, אומרת אולי שהראתי לעצמי הוכחה שהמשפט נכון, אבל הוא נכון ממילא מהאקסיומות. מקסימום שכנעתי את עצמי. במובן הזה, הפעילות המתמטית היא פעולה של גילוי. האמיתות הגיאומטריות נכונות מעצם נכונות האקסיומות ולא כי מתמטיקאי המציא את ההוכחה. הנכונות היתה שם "עוד לפני" ההוכחה. (מסיבה דומה יש מקום להטעים כי המתמטיקאי גם לא המציא את ההוכחה, אלא שגם אותה הוא רק גילה).

ספוילר להמשך: האינטואיציוניסטים עומדים לטעון שהמתמטיקה איננה תגלית (במובן כזה או אחר), אלא המצאה.

נמשיך עם עמנואל קאנט. הספר המוכר ביותר של קאנט נקרא "ביקורת התבונה הטהורה". בגדול, קאנט מנסה לפרק לחתיכות ולהסביר מה זה אומר לחשוב על משהו. מהם השכבות השונות של הידע ושל החשיבה שלנו? מהם המושגים הבסיסיים העומדים בבסיס כל שלב? מה הקשר ביניהם? כיצד זיהוי המבנה הארכיטקטוני של החשיבה קובע את גבולות הדיון המטאפיסי ואת גבולות ההכרה? (ומה זה אומר על הנפש, המרחב-זמן ואלוהים?) – על השאלות האלה נותן קאנט את התשובות החשובות שלו. מה שמעניין אותנו כרגע זה שקאנט נותן למתמטיקה תפקיד במבנה שהוא בונה. השלב הבסיסי ביותר בחשיבה על פי קאנט נקרא "הסתכלות" (באנגלית: intuition – אינטואיציה) והוא את השלב הכי בסיסי של, נו, הסתכלות בעולם. בלי הקשר ובלי חיבור למידע אחר – הדבר הכי קרוב לידע גולמי על העולם. ובכל זאת – וזו הפואנטה – זה לא מידע גולמי. כבר בשלב ההתחלתי הזה ההכרה שלנו מעבדת את המידע. קאנט טוען שיש לו הוכחה ללפחות שני מושגים (קאנט לא ממש קורא להם "מושגים" אבל נזרום רגע) שאנחנו "מטילים" על המציאות החיצונית לפני שהיא הופכת ל"הסתכלויות": החלל והזמן. אולי שמעתם עליהם.

כן. אצל קאנט החלל והזמן הם לא דברים שבאים בחבילה עם המציאות. לא שהוא יודע להגיד הרבה על המציאות בלעדיהם. זה חלק מהעניין. הוא כן חושב שהוא יכול להראות שהחלל והזמן הם תוספת פרטית שלנו. והסיבה היא: הידע המתמטי. בואו נתחיל מכמה ציטוטים מוכרים (ולא מאד ברורים) של קאנט עצמו:

"המתמטיקה מוכרחה לגלם תחילה את כל מושגיה בהסתכלות, […] היינו לבנות אותם.

"[…] מתמטיקה […] היא מן-האפשר, […] לפי שאין היא אלא צורת החושניות בלבד הקודמת להופעתם הממשית של המושאים." (ההקדמות 47-49)

המתמטיקה תמיד נתנה דוגמה די מוזרה של ידע. אנחנו רואים מספרים בעולם כל הזמן. אני סופר כסף, כבשים, דפים בספר. ברור שמושג המספר נוכח מבחינתי בעולם. מצד שני, אני יודע לענות על שאלות שקשורות למספרים בלי להתבונן בעולם בכלל. אני יודע כמה זה 1+1, שיש אינסוף מספרים ראשוניים וכולי – הכל מבלי להעזר בעולם. אפלטון יגיד שזה סימן לזה שהעולם הוא רק צל והמתמטיקה שעומדת מאחוריו היא מוחלטת. אבל אפשר להגיד לאפלטון שהוא מגזים ומושג המספר הוא פשוט אצלנו בראש ואנחנו מטילים אותו על הכבשים והספר והדפים. קאנט לוקח את העמדה הזו לקצה. מושג המרחב מאפשר את נכונות הגיאומטריה, מושג הזמן מאפשר את נכונות מושג המספר. יש לי את מושג החלל והזמן בתוכי. כשאני מסתכל במציאות החיצונית אני רואה אותה בעזרת המבנים היסודיים הללו ("מבעד למשקפיים"). אך בגלל שהחלל והזמן איתי גם מבלי להסתכל בעולם (כי הם מושגים שלי), גם כשאני מסתכל לתוכי פנימה אני משתמש בהם כדי לגלות מידע חדש על הקו והמספר – בונה משפטים מתמטיים. כך, הנכונות של הידע המתמטי והאפריוריות שלו הביאו את קאנט להבנה לגבי מקומם ההכרתי של החלל וזמן.

מתוך ההגות של קאנט חשובות לנו שתי הנקודות הבאות: ראשית, המתמטיקה נכונה במובן הזה שהיא מתארת "צורת חשיבה" (לא הביטוי שקאנט היה משתמש בו). הסיבה שאנחנו מתעסקים דווקא בגיאומטריה אוקלידית היא שזה הבסיס המושגי שלנו. מה שמתמטיקאים עושים זה ללכת בעקבות צורת החשיבה שלהם ולבנות בעזרתה מבנים. כלומר, יש משהו המצאתי במתמטיקה – אנחנו מתחילים ממבנה הכרתי מסויים בעל מושגים בסיסיים מסוימים ומוכיחים (או בונים) בעזרתו משפטים מסוימים. אני לא מעמת בשלב הזה את המשפטים האחרונים עם אפלטון – נגיע לזה לאחר שנגבש עמדה יותר ברורה. הנקודה השניה קשורה למושג הזמן. אפשר אולי להבין למה קאנט התכוון שהוא קישר את מושג המרחב לגיאומטריה. אבל למה שקאנט יחבר את הזמן לאריתמטיקה? בוא ניקח עוד ציטוט לא ברור:

"הסכימה הטהורה של הגודל, בתורת מושג של השכל, היא המספר, שהוא דימוי מסכם את ההוספה הנמשכת-והולכת של יחידה ליחידה (שוות-המין). לפיכך אין המספר אלא אחדות-ההרכבה של ריבוי-ההסתכלות שוות-המין בכלל, על-ידי שאני יוצר את הזמן-עצמו בתפיסה של ההסתכלות." (B182)

"הגיאומטריה מניחה ליסוד את ההסתכלות הטהורה של החלל. האריתמטיקה בונה בעצמה את מושגי המספרים ע"י הוספה נמשכת ועוקבת של יחידות בזמן." (ההקדמות, עמוד 48)

זה לא ממש ברור, אבל קאנט חושב שמושג המספר (הטבעי בעיקר) מייצג משהו שקשור לשני דברים דומים. האחד קשור לגודל באופן כללי. כאן אנחנו עוד מסוגלים לעקוב. בבסיס כל הוספה או חלוקה של שני דברים מאותו סוג, יעמוד מושג המספר (שני כדורים יחד עם שלושה כדורים הם חמישה כדורים, מקל באורך מסויים יחד עם מקל שהוא פעמיים אורך הראשון נותן אורך של שלוש פעמים האורך הראשון). השני קשור לספירה. המיוחד במושג הזמן הוא שלכל רגע מגיע רגע אחריו. מכל נקודת זמן שנבחר יעבור ממנה כמות סופית של רגעים ההולכת וגדלה. קיים "אינסוף פוטנציאלי" של רגעים כאלה. למה הכוונה? הכוונה שבכל שלב יש כמות סופית ונוסף אחד נוסף. קיימים אינסוף רגעים שיגיעו אך כמות סופית בכל שלב. בדיוק כמו מושג המספר הטבעי. כשאנו סופרים (בזמן!) 1,2,3,4… אנחנו משתמשים במושג הזמן כדי להבין את העובדה שקיים "אינסוף פוטנציאלי" של מספרים – בכל שלב סופי, אבל יש תמיד – עד אינסוף – צעד נוסף. לכן טוען קאנט שמושג המספר (שוב, הטבעי) עומד בבסיס החשיבה שלנו, ובמידה מוסימת קודם למושג החלל.

 פילוסופיה אינטואיציוניסטית

טוב. הגיע הזמן לעבור לדבר האמיתי ולהכיר אינטואיציוניסט אמיתי. אני שמח להכיר לכם את בראואר (L.E.J. Brouwer), איש המאה העשרים ברובו (1881-1966) ומייסד המתמטיקה והפילוסופיה האינטואיציוניסטית. המתמטיקאים מכירים אותו מנקודת השבת של בראואר שזה משהו בטופולוגיה, שזה משהו במתמטיקה. בראואר התחיל לעבוד על התורה שלו מהרגע שקיבל משרה ב-1912 ועד סוף חייו. זה כנראה המקום להגיד שהאינטואיציוניזם נחשב יחסית דחוי על ידי רוב המתמטיקאים, והמעט שמתעסקים בו לא מסכימים עם האינטואיציוניסטים עצמם. אולי שמתם לב שהצגתי רק מיליונית מהחשיבה של קאנט ובצורה די מגמתית. המטרה היתה להבין את בראואר בתור קאנט על סטרואידים (ובגלל שגם הם מאמינים שהמתמטיקה היא "הסתכלות" – אינטואיציה, מגיע שמם). נחזור על שתי הנקודות שעלו כמסקנה מקאנט. הראשונה נגעה לחשד לגבי האופי המנטלי וההמצאתי במתמטיקה. אצל ברואואר המתמטיקה היא אך ורק מנטלית. אני מתחיל מהמושגים הבסיסיים שלי ובונה מהם מבנים מתמטיים בראש. אני יכול להמחיש אותם בצורה כלשהי על דף ולגרום לאחרים לחשוב על מבנים מחשבתיים דומים או לא דומים ברוחם שלהם, אבל המתמטיקה היא רק המבנים המנטליים הללו (בראש של המתמטיקאי שבנה אותם). במובן הזה אנחנו מבינים שהאינטואיציוניזם מתייחס אל המתמטיקה כאל עניין סובייקטיבי לחלוטין (קאנט כנראה היה קורא לעניין הזה דווקא אובייקטיבי). היא קשורה להכרה שלי והכרה שלי בלבד. לא לעולם, לא לאידיאה מטאפיסית ולא לכתמי דיו על דף. הנקודה השניה קשורה לבחירה של אבן הבניין. נזכיר שאצל קאנט אבני הבניין של הפילוסופיה היו מושגי הגיאומטריה והמספרים הטבעיים (אריתמטיקה). בשנים שעברו מקאנט לבראואר התגלו הגיאומטריות הלא-אוקלידיות ואיתם המסקנה הבלתי נמנעת שמושג החלל שלנו הוא מקרי. לכן נשאר בראואר עם מושג הזמן והמספרים הטבעיים. הם ימלאו את התפקיד המכונן. הם אבן הבניין שממנה אני בונה את מושגיי המתמטיים.

זהו ארנד הייטינג (Arend Heyting 1898-1980), תלמידו של בראואר. הקטע לקוח מתוך The Intuitionist Foundation of Mathematics (1931):

The intuitionist mathematician proposes to do mathematics as a natural function of his intellect, as a free, vital activity of thought. For him, mathematics is a production of the human mind. He uses language, both natural and formalized, only for communicating thoughts, i.e., to get others or himself to follow his own mathematical ideas. Such a linguistic accompaniment is not a representation of mathematics; still less is it mathematics itself.

It would be most in keeping with the active attitude of the intuitionist to deal at once with the construction of mathematics. The most important building block of this construction is the concept of unity which is the architectonic principle on which the series of integers depends. The integers must be treated as units which differ from one another only by their place in this series.

[…] we do not attribute an existence independent of our thought, i.e., a transcendental existence, to the integers or to any other mathematical objects. Even though it might be true that every thought refers to an object conceived to exist independently of it, we can nevertheless let this remain an open question. In any event, such an object need not be completely independent of human thought. Even if they should be independent of individual acts of thought, mathematical objects are by their very nature dependent on human thought. Their existence is guaranteed only insofar as they can be determined by thought. They have properties only insofar as these can be discerned in them by thought. But this possibility of knowledge is revealed to us only by the act of knowing itself. Faith in transcendental existence, unsupported by concepts, must be rejected as a means of mathematical proof.

נתחיל מהאמצע. הציטוט השני המודגש מתאר את מה שידענו כבר: שהמתמטיקה האינטואיציוניסטית תתחיל עם המספרים הטבעיים. הציטוט הראשון מתאר יפה את הסובייקטיביות והמנטליות החזקה של האינטואיציוניסטים. הפסקה השלישית מתארת מה האינטואיציוניסטים לא חושבים. המתמטיקה איננה מתארת דבר מלבד משהו שאני בונה במחשבתי. בניגוד לאפלטון, היא איננה מתארת דבר בעולמנו (או בעולם שמעליו). המושגים המתמטים קיימים עד כמה שמחשבות קיימות. כשאנו עושים מתמטיקה עלינו להבין זאת. עלינו להבין שהאובייקטים המתמטיים קיימים רק אם בניתי אותם. לאחר הצגת הדוגמה הראשונה נוכל לראות כי בעיני האינטואיציוניסטים אפלטון הוריש למסורת המתמטית תחושה (גם אם הם אינם מודעים לה) שהאוביקטים המתמטית קיימים במציאות מטאפיסית כלשהיא והם המתמטיקאים רק מגלים אותם ואוספים אותם. תחושה מוטעית זו מוליכה את המתמטיקאים שולל וגורמת להם להסיק מסקנות מפליגות מדי. בתור אנשים משכילים עלינו לבנות מתמטיקה שחפה מאמונה בדברים לא מציאותיים כמו פיות וחדי קרן והוכחות לא קונסטרוקטיביות. על מנת לבצע מתמטיקה אמיתית, עלינו להיות זהירים ולהבין כי המתמטיקה היא רק מבנה מנטלי.

לוגיקה אינטואיציוניסטית

למען הסדר הטוב, נציג בשלב ראשון את הלוגיקה האינטואיציוניסטית. כיצד הם מרשים לעצמם להוכיח דברים. זה לא עומד להיות ברור ממבט ראשון, אבל חשוב לראות את זה לפני שנבין את הדוגמה.

  1. הוכחה של טענה אטומית א' תינתן על ידי בנייה מתמטית "לגיטימית" המראה כי א' נכון.
  2. הוכחה ל-"א' וגם ב'" ניתנת על ידי הוכחה לא' והוכחה ל-ב'.
  3. הוכחה ל-"א' או ב'" ניתנת על ידי הוכחה ל-א' או על ידי הוכחה ל-ב'.
  4. הוכחה ל-"אם א' אז ב'" ניתנת על ידי הפיכת כל הוכחה של א' להוכחה של ב'.
  5. לאבסורד \perp (סתירה) אין הוכחה.
  6. הוכחה ל-"לא א'" ניתנת על ידי הפיכת כל הוכחה של א' להוכחה של הסתירה.

הדבר הראשון שחשוב להגיד זה שמבחינת האינטואיציוניסטים (לפחות הדור הראשון שלהם), להציג קודם את הדרך של האינטואיציוניסטים להוכיח דברים ורק אחר כך את האריתמטיקה האינטואיציוניסטית יוצר תחושה מוטעית. למרות שהחשיבה המקובלת במתמטיקה שמה את המתודה להוכחה לפני המשפטים של התורה עצמה. כיצד נוכל להוכיח דברים לפני שקבענו איך מוכיחים דברים? אז זהו, שאצל האינטואיציוניסטים זה הפוך. מבחינתם קודם כל יש מספרים (יש בראש שלי, לא בעולם), וכתוצאה ממהיגיון המספרי אפשר להסיק את הכללים שניסחתי למעלה. למעשה, אין ממש נוסח אחיד של כללים אינטואיציוניסטים. לאינטרפטציה הזו ספציפית קוראים אינטרפרטציית BHK (על שם בראואר, הייטינג וקולמוגורוב). לא נכנס לזה פה. הדבר השני שאפשר לראות זה שהשאלה שהמשפטים מעלה עונים עליה היא "כיצד ניתן להראות שמשהו הוכח". בדרך כשאנו מדברים על לוגיקה השאלה היא "כיצד ניתן להראות שמשהו הוא אמת?". כלל היסק מקובל בלוגיקה נורמלית הוא "אם א' נכון וכן ב' נכון, אזי 'א' וגם ב" נכון גם הוא". המשפט הזה מתאר מה צריך להיות נכון כדי שטענה מסוימת תהיה נכונה. בלוגיקה אינטואיציוניסטית השאלה היא מה ניתן לבנות – כלומר: מה ניתן להוכיח. כדי להראות שמשהו קיים יש לבנות אותו – להוכיח אותו מתמטית. לכן החוקים שרשמתי הם חוקי בנייה – כיצד ניתן לבנות משפט במתמטיקה.

אריתמטיקה אינטואיציוניסטית

רגע של רענון במתמטיקה. לכל מספר יש הצגה עשרונית. ההצגה העשרונית של חצי היא 0.5, של שליש 0.3333..., ושל פאי (\pi) 3.14159.... חלק מהמספרים אפשר להציג כיחס בין שני מספרים שלמים. חצי הוא \frac{1}{2}, שליש הוא \frac{1}{3}. מספרים שאפשר למצוא להם הצגה כזו נקראים מספרים רציונלים (מהמילה ratio – יחס). את המספר פאי לדוגמה אי אפשר, ולכן הוא נקרא מספר אי-רציונלי. כל מספר שההצגה העשרונית שלו היא סופית (אין אינסוף ספרות אחרי הנקודה), הוא בהכרח רציונלי. מהצד השני חלק מהמספרים שהייצוג העשרוני שלהם אינסופי יכולים להיות רציונלים (כמו שליש), ויכולים גם לא (כמו פאי). הייצוג של פאי מעניין לא רק בגלל שהוא באמת אינסופי, אלא כי הוא גם רנדומלי – אנחנו באמת לא יודעים מה תהיה הספרה הבאה עד שנבדוק.

אני רוצה לבנות מספר, נקרא לו p. כמו שרשום בכלל מספר 1, התיאור שלו חייב להיות "לגיטימי". מתי בנייה בסיסית היא לגיטימית לפי אינטואיציוניסטים? אם נקבע כלל לחישוב הספרה הבאה. באיזה מובן המספרים הטבעיים עצמם הם לגיטימים? במובן שבכל שלב אני יודע את הספרה הבאה (אך לעולם לא את המכלול). באותו מובן כדי לדעת מספר כלשהו מספיק לקבוע כיצד ניתן לחשב את הספרה הבאה. וזהו הכלל לבניה של p (ראה איור): בשורה העליונה אני מתחיל לרשום את הספרות של פאי. בשורה התחתונה אני מתחיל לרשום 0.3333.... בכל שלב אני מוסיף ספרה למעלה ו-3 למטה. בכל שלב אני בודק אם הספרות הבאות של פאי יוצרות את הרצף "98765433210". אם כן, אני עוצר (במילים אחרות: שאר הספרות הם אפס) – סיימתי לכתוב את p. אחרת, אני ממשיך כרגיל. מה שחשוב בדוגמה זה שעד היום לא נמצא רצף כזה של ספרות בייצוג העשרוני של פאי. זה לא אומר שלא יהיה, וזה לא אומר שיהיה – רק שאנחנו לא יודעים כרגע. אם אין רצף כזה, אז נמשיך לרשום 3-ים עד אינסוף ולכן p=\frac{1}{3}. אם יש רצף כזה, אזי p הוא מהסוג 0.3333...3 (אם יש בסך הכל k ספרות אזי p = \frac{10^k-1}{3 \cdot 10^k}).

תהליך הבנייה של המספר p, במקרה שהתהליך נעצר.

תהליך הבנייה של המספר p, במקרה שהתהליך נעצר.

 אז למה שווה p? אנחנו לא יודעים. כל עוד לא נדע האם קיים רצף כזה והיכן לא נוכל לדעת. אנחנו אפילו לא יודעים אם המספר שווה לשליש או לא. פה מתחיל ההבדל בגישה בין חשיבה מתמטית קלאסית לאינטואיציוניסטית. בחשיבה קלאסית, וברוח אפלטון, התשובה קיימת אי שם. ל-p יש ערך. אולי הוא שליש ואולי לא, אבל יש לו (כבר עכשיו) ערך. זה שעוד לא מצאנו או הוכחנו שלא קיים רצף "9876543210" בספרות של פאי אומר שאנחנו מוגבלים. מבחינת המתמטיקה, התשובה "כבר ידועה" – אנחנו פשוט לא יודעים אותה עדיין. אצל האינטואיציוניסטים התמונה שונה. בנינו את המספר אמנם בצורה לגיטימית, אבל לא כל הספרות שלו "נבנו" עדיין במוחנו. בכל שלב אנחנו יכולים אם נרצה לבנות ספרה נוספת, אבל היא לא הייתה עד שלא בנינו אותה. להניח שהיא כן הייתה זה להניח שאובייקטים מתמטים נמצאים באיזה שהיא צורה בעולם בנפרד מהמחשבות שלי, וזה בדיוק מה שאנחנו מנסים להמנע ממנו. לכן p עדיין לא באמת נבנה במובן שאנחנו יודעים את הערך שלו.

בואו נשאל את השאלה הבאה: האם p הוא מספר רציונלי? אם היינו מתמטיקאים נורמלים היינו אומרים שכן. אם קיים רצף כזה, p = \frac{10^k-1}{3 \cdot 10^k} ולכן רציונלי (יחס בין שני שלמים). אם לא נעצור p=\frac{1}{3} ולכן הוא שוב רציונלי. בין אם נעצור מתישהו ובין אם לא, המספר שיווצר הוא רציונלי. לכן p רציונלי בלי קשר לשאלה למה הוא שווה בדיוק. אבל מה אומרים האינטואיציוניסטים? הם אומרים שכדי להתחיל להוכיח את המשפט אתם חייבים להתייחס למלוא הספרות של p, דבר שאיננו יכולים לבצע כי הם לא נבנו עדיין במוחנו. לכן כל ניסיון הוכחה יהיה חייב לבצע מין הנחה מטאפיסית שהתשובה לגבי הערך של p "קיימת איפשהו" (שזו בדיוק ההנחה של המתמטיקאי הקלאסי), ולכן הוכחה כזו בהכרח לא תקינה. לכן אי אפשר להראות ש-p רציונלי. יותר נכון שכרגע אי אפשר. נניח ומחר ימצאו רצף "9876543210" בספרות של פאי. במצב כזה נדע בדיוק למה שווה p ונוכל להראות כי הוא רציונלי. לכן אנחנו רואים שהיכולת להראות דברים במתמטיקה אינטואיציוניסטית הוא עניין שמשתנה בזמן – הוא תלוי במה בניתי עד כה במוחי.

נעבור לשאלה אחרת: האם p הוא לא-רציונלי? אז האמת שאפשר להראות שהמשפט האחרון לא יתכן. כיצד מוכיחים באינטואיציוניסטית שמשהו לא יתכן? לפי כלל 6 יש להראות כי אם היתה בידינו הוכחה למשפט, היא בהכרח מובילה לסתירה. בואו נעשה זאת: נניח ויש בידינו הוכחה לכך ש"p לא רציונלי". מי שהביא את ההוכחה היה בוודאי אינטואיציוניסט מושבע, ולכן היא בהכרח היתה חייבת להתייחס לערך של p. מכאן כחלק מההוכחה אנו יודעים את הערך של p. נסתכל אם כן על הערך של p. אחת משתיים: האופציה הראשונה היא ש-p=\frac{1}{3} . במקרה הזה p הוא רציונלי. הגענו לסתירה להוכחה. לכן כנראה האופציה הזאת לא תתכן. האופציה השניה היא שעצרנו מתישהו ו-p הוא מהסוג p=0.3333...3 וגם כאן, רציונלי. שוב סתירה. לכן הגענו לזה שבכל מקרה הוכחה לכך ש-"p לא רציונלי" בהכרח מובילה לסתירה. לכן הטענה כי "p לא רציונלי" בהכרח לא נכונה. יכול להיות שבא לכם להגיד עכשיו: "רגע, אם הראנו שלא יתכן ש-p לא-רציונלי, אז ברור ש-p רציונלי!". לא ממש, אומר לנו האינטואיציוניסט, אם הסקת ש-p הוא רציונלי בהכרח אתה מתייחס לערך עצמו של p. אם עשית זאת בלי לבנות את p, אז אתה די מניח שהספרות שלו נבנו כבר, אחרת מה בדיוק רציונלי פה? לכן, כדי למנוע אמונה ביצורים מטאפיסיים ומופרכים כמו הספרות החסרות של p, האינטואיציוניסטים לא מרשים לבצע את ההיסק הזה.

אני רוצה לחזור ולהדגיש שלוש נקודות שהבנו מהדוגמה. ראשית, נשים לב לחשיבות באינטואיציוניזם על הקונסטרוקטיביות של ההוכחה המתמטית. כל שלב חייב לוודא באופן חד משמעי כי הדברים שעליהם הוא מדבר באמת נבנו כבר בראש שלי. לכן ההוכחות באינטואיציוניזם יעשו רק בדרכים קונסטרוקטיביות (בנייתיות?) – הם יוכיחו את קיומם של אובייקטים מתמטיים רק אם ניתן להצביע על מלוא המאפיינים שלהם. הקיצוניות של העמדה הזאת מגיעה למצב (כפי שראינו) שנכונות מתמטית מבחינתם, הוא עניין שתלוי בזמן. משפט יכול להיות לא נכון, ובהמשך להתהפך לנכון. השאלה היא פשוט האם הוא נבנה כבר. לכן אצלם המתמטיקה היא באופן חד משמעי המצאה מנטלית. שנית, ראינו שלא ניתן להסיק מכך שלא יתכן ש-p לא רציונלי את היותו רציונלי. בלוגיקה יש לזה שם: "כלל השלישי מן הנמנע". כלל זה אומר שאו ש-א' נכון או ש-"לא א'" נכון. כמו שראינו עכשיו, האינטואיציוניסטים לא מקבלים את זה. ראינו מקרה בו משפט (p הוא רציונלי) ושלילתו (p איננו רציונלי) שניהם לא נכונים. זה נכון שלא יתכן מצב בלוגיקה אנטואיציוניסטית כי הן המשפט והן היפוכו נכונים ביחד, אבל בהחלט יתכן ששניהם לא נכונים ביחד. מכאן מגיע האנטי האינטואיציוניסטי להוכחות על דרך השלילה. אתם מוזמנים להראות כמה שאתם רוצים שהשלילה של טענה לא נכונה. לא תוכלו להסיק מזה את המשפט המקורי (מבלי להסיק דברים מטאפיסיים). שלישית, אפשר לנסח את המשפטים האחרונים טיפה אחרת ולהדגיש שבמתמטיקה אינטואיציוניסטית יש הבדל בין להוכיח דברים על טענה, לבין להוכיח דברים על השלילה שלה. לכן חשוב להבדיל בין "א' לא הוכח" לבין "לא-א' הוכח". כשאנו ואומרים ש-"א' לא הוכח" הכוונה שהוא לא הוכח בינתיים. יתכן והוא יוכח בעתיד ויתכן שלא. לעומת זאת "לא-א' הוכח" הכוונה לכך שהטענה "לא-א'" הוכחה באופן שאיננו גורר סתירה. זה לא אומר שנוכל להפריך את א'.

אינפי אינטואיציוניסטי

בשלב הזה אתם אולי חושבים "מה הקטע שלהם?" או יותר כמו "למה זה טוב?". תשמרו את המחשבות האלה רגע. התחושה העיקרית שעולה היא שהאינטואיציוניסטים (עם סיבה טובה או בלי) מגבילים את חופש התנועה של המתמטיקאים. לכולנו ברור ש-p רציונלי, אבל הנודניקים מרשים לנו רק להגיד שלא יתכן שהוא לא-רציונלי. יופי. אם הייתם צריכים לנחש איך נראה המפעל המתמטי האינטואיציוניסטי כולו (יש כזה), הייתם בטח מנחשים שהוא נראה כמו האח הצולע של המתמטיקה שלנו. הם היו רוצים להגיד את מה שהשאר אומרים אבל יש להם פחות כלי עבודה אז הם מצליחים בקושי. בכל מקרה הייתם מנחשים שאין משפט מתמטי שאינטואיציוניסט אומר שמתמטיקאי קלאסי לא יסכים איתו (בכיוון ההפוך זה יכול לקרות). אז הפתעה: בפרק הזה אני אתן דוגמה מוכרת למשפט שנכון במתמטיקה אינטואיציוניסטית ולא נכון במתמטיקה קלאסית בכלל.

רקע קצר: בואו נדבר על פונקציות ועל גרפים של פונקציות. לצורך הסיפור, לכל פונקציה יש ציור (גרף). ניתן שתי הגדרות:

פונקציה מוגדרת בקטע – פונקציה שמעל כל נקודה על ציר ה-x בקטע יש נקודה של הגרף – אין חורים בציור.

הפונקציה משמאל מלאת חורים בקטע ולכן איננה מוגדרת בו. לעומתה הפונקציה מימין ללא חורים ולכן מוגדרת בקטע.

הפונקציה משמאל מלאת חורים בקטע ולכן איננה מוגדרת בו. לעומתה הפונקציה מימין ללא חורים ולכן מוגדרת בקטע.

פונקציה רציפה בקטע – פונקציה שכדי לצייר את הגרף שלה בקטע לא צריך להרים את העט מהדף. ההגדרה האמיתית (עבור קטע I):

\forall x_{0}\in I\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall x\in I:\left|x-x_{0}\right|<\delta\rightarrow\left|f(x)-f(x_{0})\right|<\varepsilon.

הפונקציה מימין ללא קפיצות ולכן ניתן לצייר אותה מבלי להרים את העט - ולכן היא רציפה. הפונקציה השמאלית כוללת קפיצות ולכן איננה רציפה.

הפונקציה מימין ללא קפיצות ולכן ניתן לצייר אותה מבלי להרים את העט – ולכן היא רציפה. הפונקציה השמאלית כוללת קפיצות ולכן איננה רציפה.

בואו ניקח את הפונקציה הבאה:

f(x)=\begin{cases}  0 & x<\frac{1}{3}\\  1 & x\ge\frac{1}{3}  \end{cases}

הפונקציה אמנם מוגדרת בקטע [0,1] אבל כוללת קפיצה בנקודה \frac{1}{3}, כפי שניתן לראות בגרף הפונקציה:

גרף הפונקציה f(x)

גרף הפונקציה f(x)

אז f(x) היא פונקציה מוגדרת בקטע ולא רציפה בו. אחלה. הנה משפט שבראואר הוכיח (בנה אותו לעצמו בראש או משהו) ב-1923:

משפט הרציפות של בראואר (1923) – כל פונקציה המוגדרת בקטע מסויים בהכרח גם רציפה בו.

אז קודם כל, זה משפט שלא נכון במתמטיקה רגילה וכן נכון במתמטיקה אינטואיציוניסטית. אבל השאלה המעניינת היא: אפילו אצל האינטואיציוניסטים, איך לעזעזל הוא נכון? הרי, לא משנה איך מסתכלים על זה, f היא פוקנציה מוגדרת, ו-f היא לא רציפה. סתירה. אז זהו, ש-f לא באמת מוגדרת. מתי אנחנו אומרים שפונקציה מוגדרת בקטע? אחרי שהוכחנו בצורה קונסטרוקטיבית שהיא אכן מוגדרת. אבל כדי להראות בצורה קונסטרוקטיבית שמשהו מוגדר צריך להראות שבהינתן מספר כלשהו a (עם כלל כלשהו למציאת הספרה הבאה), יש כלל ליצירת המספר f(a) (f של המספר הזה). אתם אולי רואים לאן זה הולך: מהו f(p)? כדי לדעת האם זה 0 או 1 צריך לדעת האם קיים רצף "9876543210" בספרות של פאי. אנחנו עדיין לא יודעים את זה ולכן אין לנו כלל לבניה של  f(p). כלומר, קיימים מספרים (p הוא בוודאות מספר גם אם לא בניתי את כל הספרות שלו) שעבורן (נכון להיום) f לא מוגדר. לכן f לא מוגדרת על כל הישר. אם היא לא מוגדרת אז אין התנגשות עם המשפט של בראואר כי f לא עונה על הרישא.

אבל למה שהמשפט יהיה נכון באופן כללי? אני לא אציג את ההוכחה (אפשר למצוא אותה בספר Intuitionism: An Introduction של הייטינג), אבל באופן גס זה משהו כזה: כדי שפונקציה תוכל לעמוד בטריקים של p ודומיהם, היא צריכה להיות מסוגלת לחשב כל כמות סופית של ספרות של f(x) רק מלדעת כמות סופית כלשהי של ספרות של x. המשפט הזה כמעט שקול להגדרה המתמטית של רציפות שרשמתי מעלה.

מסקנה: לא רק שיש משפטים ברורים מאליהם שלא נכונים באינטואיציוניזם, יש משפטים הזויים שנכונים רק באינטואיציוניזם.

תורת ההוכחות (Proof Theory)

כדי להוסיף עוד שכבה לדיון, אני ארצה בכל זאת לחזור קצת מהטענות של הפסקאות הקודמות. אחרי הצגת הדוגמה עם המספר p עלה הרושם כאילו מתמטיקה אינטואיציוניסטית היא פשוט גרסה מנוונת של מתמטיקה רגילה. לדוגמה במקרה של p אי אפשר להוכיח שהוא רציונלי אבל היה אפשר להוכיח שהוא לא-לא-רציונלי. יש תחום במתמטיקה שנקרא תורת ההוכחות (proof theory) שחוקר בעצמו תורות מתמטיות. במסגרת התורה הזו, מתמטיקאי בשם ולרי גליבנקו (Glivenko) הוכיח בשנת 1929 את הטענה הבאה:

משפט גליבנקו (1929): אם טענה מתמטית t מוכחת במתמטיקה קלאסית, אזי "לא לא t" ניתנת להוכחה במתמטיקה אינטואיציוניסטית, והפוך: אם "לא לא t" מוכחת במתמטיקה אינטואיציוניסטית אזי t ניתנת להוכחה במתמטיקה קלאסית. כלומר, יש שקילות בין הטענות בשני תורות. בניסוח של תורת ההוכחות:

\vdash_{\mbox{CPC}}t\,\,\Longleftrightarrow\,\,\vdash_{\mbox{IPC}}\lnot\lnot t

למתעניינים, המתמטיקאי המוכר קורט גדל (Gödel) הרחיב את המשפט לתרגום מלא בין מערכת מתמטית קלאסית ואינטואיציוניסטית.

קודם כל, שתי השגות: אם תשאלו אינטואיציוניסט הוא לא ממש יאהב את המשפט הזה. ראשית בגלל שהם לא מקבלים את תורת ההוכחות כתורה לגיטימית במתמטיקה והם בכלל לא מוכנים לדון בכך שיש עוד מועמדים. יש רק דרך אחת לבנות מבנים מנטלים וזהו. דבר שני, הטענה בכלל לא נכונה. ראינו לדוגמה את "משפט הרציפות של בראואר" שפשוט לא נכון במתמטיקה קלאסית. כיצד זה יתכן? בגלל שהדברים יותר מורכבים. גליבנקו וגדל מדברים על שני תורות ששקולות לגמרי מבחינת המבנה שלהם מלבד היכולת של התורה האינטואיציוניסטית להשתמש ב"כלל השלישי מן הנמנע". אבל בפועל יש עוד הבדלים, לדוגמה מה באופן בסיסי נחשב "בנייה לגיטימית". הבדלים אלה הופכים את היכולת להשוות בין התורות באופן מסודר לפעולה הרבה יותר מעורפלת (וזו גם אחת הביקורות כלפי האינטואיציוניסטים: שהמבחן שלהם לבנייה חוקית לא מוגדר היטב). אבל בכל זאת. המשפט כן אומר משהו אולי לא חד משמעי אבל כן בעל היקף מסויים, שגורם לנו לפקפק בייחוד של מתמטיקה אינטואיציוניסטית. אם בסוף כל הפילוסופיה והדיבורים קיבלנו את אותה תורה רק שצריך להתחיל את המשפט ב-"לא לא", אז לא עשינו הרבה.

***

אז מה היה לנו פה? במסגרת השאלה "האם המתמטיקה היא תגלית או המצאה?" יצרנו שני צדדים. מצד אחד אפלטון, שהמורשת שלו יצרה את התפיסה המקובלת על מתמטיקה ולוגיקה. בתפיסה זו האמת (המתמטית ובכלל) כבר מונחת על השולחן ואנחנו רק מגלים אותה. מצד שני בראואר והאינטואיציוניזם שלקחו השראה מקאנט. לשיטתם האמת המתמטית היא אמת שאנחנו יוצרים. מבנה מתמטי "קיים" רק ברוחי לאחר שאני בונה אותו בצורה מסודרת. יש לאינטואיציוניסטים נקודה לפחות בדרך שבא הם מאירים לנו את החולשות התפיסה המקובלת. הם מערערים על איזורים בחשיבה המתמטית שרובנו לקחנו כמובנים מאליהם.

המסר אולי הכי חשוב מהדיון הוא שבניגוד למקובל, למתמטיקה יש שורשים פילוסופיים. המתמטיקה המקובלת היום היא תוצאה של שבירת מוסכמות ודיון פילוסופי על מושג האמת המתמטית שהתרחש לאורך המאה התשע עשרה והתעצם עד לתחילת המאה העשרים. בדיון השתתפו מתמטיקאים מהשורה הראשונה (ביניהם ראסל, הילברט, גדל, קנטור ועוד). אפשר אולי אפילו להגיד שהיו לו מנצחים ומפסידים. האינטואיציוניזם היה חלק מהדיון הזה. הוא ענף שהתחיל מיסוד פילוסופי שונה ובאמת יצר מתמטיקה אחרת. אולי הם צודקים ואולי לא. אולי המתמטיקה היא המצאה ואולי תגלית. ככה או ככה, למי שמתעניין בהיסטוריה ובפילוסופיה של המתמטיקה, הם בטוח סיפור טוב.

מודעות פרסומת

כתיבת תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s