אינטואיציוניזם

הרשומה הזו מסכמת הרצאה שעשיתי שנועדה לתת הכרות עם הפילוסופיה והמתמטיקה האינטואיציוניסטית. בשורה וחצי: האינטואיציוניזם הוא ענף במתמטיקה הטוען כי המתמטיקה המקובלת טועה באופן בסיסי הן פילוסופית והן מתמטית. לכן, האינטואיציוניזם מכיל בתוכו הן פילוסופיה של המתמטיקה והן מתמטיקה, המבקרות ומאתגרות את החשיבה המקובלת על מתמטיקה ועל לוגיקה. הטענה המוכרת ביותר של האינטואיציוניסטים היא שאין להשתמש בהוכחות על דרך השלילה. ניסוח נכון יותר יהיה שהוכחות על דרך השלילה מראות משהו, אבל לא את הדבר המקובל בחשיבה הקלאסית על לוגיקה.

הבסיס לדיון – אפלטון וקאנט

נתחיל בהתבוננות בפוסטולאטים (הנחות) של אוקלידס ביסודות:

  1. ניתן למתוח קו ישר מכל נקודה לכל נקודה.
  2. ולהמשיך כל קטע ללא-גבול כקו-ישר.
  3. ולחוג מעגל סביב כל מרכז ובכל רדיוס.
  4. ושכל הזויות הישרות שוות זו לזו.
  5. אם קו ישר החותך שני ישרים נוספים, וסך הזויות הפנימיות שהוא יוצר איתם (מאותו צד) הוא קטן משתי זויות ישרות, אזי שתי הישרים, אם ימשכו לאינסוף, יפגשו בצד זה (ולא יפגשו בצד השני).

נשים לב לסגנון. הפעולות "המותרות" על מנת להוכיח משפט בגיאוטריה שקולות לפעולות בעולם. מתיחת קו, המשכת קטע. כולן מתארות פעולות ממש. כמעט כאילו הוכחת משפט בגיאומטריה שקולה לבניה של משהו. אבל ברור לנו שזה לא באמת אותו הדבר. הקטע הבא (שאני מוציא מההקשר המקורי) מגיע מתוך הפוליטאה של אפלטון (ספר ז', עמוד 527), ובו מספר סוקרטס על דיון שעשה על הקושי שלו עם דרך הניסוח של אוקלידס:

"והנה כל המנוסה בהנדסה [=בגיאומטריה] אך במעט", אמרתי אני, "לא יחלוק עלינו כשנטען, שטיבו של אותו המדע הריהו ההפך הגמור ממה שמסתמן מתוך דברי האנשים השולחים בו ידם".

"הכיצד?" אמר.

"הרי הם סחים בסגנון מגוחך ומצומצם עד מאד; שכן מדברים הם, כאילו יש בידיהם משום מעשה; וכאילו דבריהם לא באו אלא לשם פעולה, שגורים בפיהם ביטויים כגון, 'לרבע', 'למתוח' (מלבן על פני קו), 'לצרף' (צורה אל משנה) וכל היוצא בזה; ואילו לאמיתו של הדבר הרי העיסוק במדע זה כולו אינו אלא לשם הכרה. […] שהמדובר בהכרת מה-שהווה-לעולם, ולא – בהכרת מה שהולך-ומתהווה, והולך וכלה".

אני מצייר משולש על דף נייר. נניח כי אני מעוניין להוכיח שסך הזויות במשולש הוא 180^\circ. אני לא מתכוון למשולש הזה ספציפית, אלא למשולשים באופן כללי. במהלך ההוכחה אני לא באמת אשתמש בתכונות של המשולש הזה (מה שהולך ומתהווה עכשיו) אלא רק בהיותו משולש – במושג המשולש עצמו (מה שהווה לעולם). במילים אחרות, המתמטיקה לא בונה ולא ממציאה דבר, היא מגלה את מה שנכון עקרונית בלי קשר למה שאני עושה על הדף כאן ועכשיו. אפלטון יוסיף: זה רק אילוסטרציה לדבר האמיתי, ל-"אידיאת המשולש" עצמה.

אבל האמת שלא חייבים להשמע עד כדי כך מטאפיזיים כדי להסכים במידה מסוימת עם אפלטון. גם אם אתם מאמינים שאין באמת "אידיאת משולש" ושום דבר במתמטיקה מתעסק במה "שהווה לעולם" אלא רק במערכות פורמליות, אתם עדיין יכולים להסכים שהניסוח של אוקלידס לא אדיר. אנחנו באמת לא מתעסקים במשולש ספציפי. אנחנו יכולים להסכים עם אפלטון שאמת מתמטית היא כללית (גם אם מותנית). אם אתם מקבלים את האקסיומות של אוקלידס, המסקנות שלו נכונות באופן כללי ללא קשר לציורים שלי על הדף. יתר על כן, העובדה שציירתי ציור ספציפי של משולש וציירתי עליו קווים ואותיות יווניות, אומרת אולי שהראתי לעצמי הוכחה שהמשפט נכון, אבל הוא נכון ממילא מהאקסיומות. מקסימום שכנעתי את עצמי. במובן הזה, הפעילות המתמטית היא פעולה של גילוי. האמיתות הגיאומטריות נכונות מעצם נכונות האקסיומות ולא כי מתמטיקאי המציא את ההוכחה. הנכונות היתה שם "עוד לפני" ההוכחה. (מסיבה דומה יש מקום להטעים כי המתמטיקאי גם לא המציא את ההוכחה, אלא שגם אותה הוא רק גילה).

ספוילר להמשך: האינטואיציוניסטים עומדים לטעון שהמתמטיקה איננה תגלית (במובן כזה או אחר), אלא המצאה.

נמשיך עם עמנואל קאנט. הספר המוכר ביותר של קאנט נקרא "ביקורת התבונה הטהורה". בגדול, קאנט מנסה לפרק לחתיכות ולהסביר מה זה אומר לחשוב על משהו. מהם השכבות השונות של הידע ושל החשיבה שלנו? מהם המושגים הבסיסיים העומדים בבסיס כל שלב? מה הקשר ביניהם? כיצד זיהוי המבנה הארכיטקטוני של החשיבה קובע את גבולות הדיון המטאפיסי ואת גבולות ההכרה? (ומה זה אומר על הנפש, המרחב-זמן ואלוהים?) – על השאלות האלה נותן קאנט את התשובות החשובות שלו. מה שמעניין אותנו כרגע זה שקאנט נותן למתמטיקה תפקיד במבנה שהוא בונה. השלב הבסיסי ביותר בחשיבה על פי קאנט נקרא "הסתכלות" (באנגלית: intuition – אינטואיציה) והוא את השלב הכי בסיסי של, נו, הסתכלות בעולם. בלי הקשר ובלי חיבור למידע אחר – הדבר הכי קרוב לידע גולמי על העולם. ובכל זאת – וזו הפואנטה – זה לא מידע גולמי. כבר בשלב ההתחלתי הזה ההכרה שלנו מעבדת את המידע. קאנט טוען שיש לו הוכחה ללפחות שני מושגים (קאנט לא ממש קורא להם "מושגים" אבל נזרום רגע) שאנחנו "מטילים" על המציאות החיצונית לפני שהיא הופכת ל"הסתכלויות": החלל והזמן. אולי שמעתם עליהם.

כן. אצל קאנט החלל והזמן הם לא דברים שבאים בחבילה עם המציאות. לא שהוא יודע להגיד הרבה על המציאות בלעדיהם. זה חלק מהעניין. הוא כן חושב שהוא יכול להראות שהחלל והזמן הם תוספת פרטית שלנו. והסיבה היא: הידע המתמטי. בואו נתחיל מכמה ציטוטים מוכרים (ולא מאד ברורים) של קאנט עצמו:

"המתמטיקה מוכרחה לגלם תחילה את כל מושגיה בהסתכלות, […] היינו לבנות אותם.

"[…] מתמטיקה […] היא מן-האפשר, […] לפי שאין היא אלא צורת החושניות בלבד הקודמת להופעתם הממשית של המושאים." (ההקדמות 47-49)

המתמטיקה תמיד נתנה דוגמה די מוזרה של ידע. אנחנו רואים מספרים בעולם כל הזמן. אני סופר כסף, כבשים, דפים בספר. ברור שמושג המספר נוכח מבחינתי בעולם. מצד שני, אני יודע לענות על שאלות שקשורות למספרים בלי להתבונן בעולם בכלל. אני יודע כמה זה 1+1, שיש אינסוף מספרים ראשוניים וכולי – הכל מבלי להעזר בעולם. אפלטון יגיד שזה סימן לזה שהעולם הוא רק צל והמתמטיקה שעומדת מאחוריו היא מוחלטת. אבל אפשר להגיד לאפלטון שהוא מגזים ומושג המספר הוא פשוט אצלנו בראש ואנחנו מטילים אותו על הכבשים והספר והדפים. קאנט לוקח את העמדה הזו לקצה. מושג המרחב מאפשר את נכונות הגיאומטריה, מושג הזמן מאפשר את נכונות מושג המספר. יש לי את מושג החלל והזמן בתוכי. כשאני מסתכל במציאות החיצונית אני רואה אותה בעזרת המבנים היסודיים הללו ("מבעד למשקפיים"). אך בגלל שהחלל והזמן איתי גם מבלי להסתכל בעולם (כי הם מושגים שלי), גם כשאני מסתכל לתוכי פנימה אני משתמש בהם כדי לגלות מידע חדש על הקו והמספר – בונה משפטים מתמטיים. כך, הנכונות של הידע המתמטי והאפריוריות שלו הביאו את קאנט להבנה לגבי מקומם ההכרתי של החלל וזמן.

מתוך ההגות של קאנט חשובות לנו שתי הנקודות הבאות: ראשית, המתמטיקה נכונה במובן הזה שהיא מתארת "צורת חשיבה" (לא הביטוי שקאנט היה משתמש בו). הסיבה שאנחנו מתעסקים דווקא בגיאומטריה אוקלידית היא שזה הבסיס המושגי שלנו. מה שמתמטיקאים עושים זה ללכת בעקבות צורת החשיבה שלהם ולבנות בעזרתה מבנים. כלומר, יש משהו המצאתי במתמטיקה – אנחנו מתחילים ממבנה הכרתי מסויים בעל מושגים בסיסיים מסוימים ומוכיחים (או בונים) בעזרתו משפטים מסוימים. אני לא מעמת בשלב הזה את המשפטים האחרונים עם אפלטון – נגיע לזה לאחר שנגבש עמדה יותר ברורה. הנקודה השניה קשורה למושג הזמן. אפשר אולי להבין למה קאנט התכוון שהוא קישר את מושג המרחב לגיאומטריה. אבל למה שקאנט יחבר את הזמן לאריתמטיקה? בוא ניקח עוד ציטוט לא ברור:

"הסכימה הטהורה של הגודל, בתורת מושג של השכל, היא המספר, שהוא דימוי מסכם את ההוספה הנמשכת-והולכת של יחידה ליחידה (שוות-המין). לפיכך אין המספר אלא אחדות-ההרכבה של ריבוי-ההסתכלות שוות-המין בכלל, על-ידי שאני יוצר את הזמן-עצמו בתפיסה של ההסתכלות." (B182)

"הגיאומטריה מניחה ליסוד את ההסתכלות הטהורה של החלל. האריתמטיקה בונה בעצמה את מושגי המספרים ע"י הוספה נמשכת ועוקבת של יחידות בזמן." (ההקדמות, עמוד 48)

זה לא ממש ברור, אבל קאנט חושב שמושג המספר (הטבעי בעיקר) מייצג משהו שקשור לשני דברים דומים. האחד קשור לגודל באופן כללי. כאן אנחנו עוד מסוגלים לעקוב. בבסיס כל הוספה או חלוקה של שני דברים מאותו סוג, יעמוד מושג המספר (שני כדורים יחד עם שלושה כדורים הם חמישה כדורים, מקל באורך מסויים יחד עם מקל שהוא פעמיים אורך הראשון נותן אורך של שלוש פעמים האורך הראשון). השני קשור לספירה. המיוחד במושג הזמן הוא שלכל רגע מגיע רגע אחריו. מכל נקודת זמן שנבחר יעבור ממנה כמות סופית של רגעים ההולכת וגדלה. קיים "אינסוף פוטנציאלי" של רגעים כאלה. למה הכוונה? הכוונה שבכל שלב יש כמות סופית ונוסף אחד נוסף. קיימים אינסוף רגעים שיגיעו אך כמות סופית בכל שלב. בדיוק כמו מושג המספר הטבעי. כשאנו סופרים (בזמן!) 1,2,3,4… אנחנו משתמשים במושג הזמן כדי להבין את העובדה שקיים "אינסוף פוטנציאלי" של מספרים – בכל שלב סופי, אבל יש תמיד – עד אינסוף – צעד נוסף. לכן טוען קאנט שמושג המספר (שוב, הטבעי) עומד בבסיס החשיבה שלנו, ובמידה מוסימת קודם למושג החלל.

 פילוסופיה אינטואיציוניסטית

טוב. הגיע הזמן לעבור לדבר האמיתי ולהכיר אינטואיציוניסט אמיתי. אני שמח להכיר לכם את בראואר (L.E.J. Brouwer), איש המאה העשרים ברובו (1881-1966) ומייסד המתמטיקה והפילוסופיה האינטואיציוניסטית. המתמטיקאים מכירים אותו מנקודת השבת של בראואר שזה משהו בטופולוגיה, שזה משהו במתמטיקה. בראואר התחיל לעבוד על התורה שלו מהרגע שקיבל משרה ב-1912 ועד סוף חייו. זה כנראה המקום להגיד שהאינטואיציוניזם נחשב יחסית דחוי על ידי רוב המתמטיקאים, והמעט שמתעסקים בו לא מסכימים עם האינטואיציוניסטים עצמם. אולי שמתם לב שהצגתי רק מיליונית מהחשיבה של קאנט ובצורה די מגמתית. המטרה היתה להבין את בראואר בתור קאנט על סטרואידים (ובגלל שגם הם מאמינים שהמתמטיקה היא "הסתכלות" – אינטואיציה, מגיע שמם). נחזור על שתי הנקודות שעלו כמסקנה מקאנט. הראשונה נגעה לחשד לגבי האופי המנטלי וההמצאתי במתמטיקה. אצל ברואואר המתמטיקה היא אך ורק מנטלית. אני מתחיל מהמושגים הבסיסיים שלי ובונה מהם מבנים מתמטיים בראש. אני יכול להמחיש אותם בצורה כלשהי על דף ולגרום לאחרים לחשוב על מבנים מחשבתיים דומים או לא דומים ברוחם שלהם, אבל המתמטיקה היא רק המבנים המנטליים הללו (בראש של המתמטיקאי שבנה אותם). במובן הזה אנחנו מבינים שהאינטואיציוניזם מתייחס אל המתמטיקה כאל עניין סובייקטיבי לחלוטין (קאנט כנראה היה קורא לעניין הזה דווקא אובייקטיבי). היא קשורה להכרה שלי והכרה שלי בלבד. לא לעולם, לא לאידיאה מטאפיסית ולא לכתמי דיו על דף. הנקודה השניה קשורה לבחירה של אבן הבניין. נזכיר שאצל קאנט אבני הבניין של הפילוסופיה היו מושגי הגיאומטריה והמספרים הטבעיים (אריתמטיקה). בשנים שעברו מקאנט לבראואר התגלו הגיאומטריות הלא-אוקלידיות ואיתם המסקנה הבלתי נמנעת שמושג החלל שלנו הוא מקרי. לכן נשאר בראואר עם מושג הזמן והמספרים הטבעיים. הם ימלאו את התפקיד המכונן. הם אבן הבניין שממנה אני בונה את מושגיי המתמטיים.

זהו ארנד הייטינג (Arend Heyting 1898-1980), תלמידו של בראואר. הקטע לקוח מתוך The Intuitionist Foundation of Mathematics (1931):

The intuitionist mathematician proposes to do mathematics as a natural function of his intellect, as a free, vital activity of thought. For him, mathematics is a production of the human mind. He uses language, both natural and formalized, only for communicating thoughts, i.e., to get others or himself to follow his own mathematical ideas. Such a linguistic accompaniment is not a representation of mathematics; still less is it mathematics itself.

It would be most in keeping with the active attitude of the intuitionist to deal at once with the construction of mathematics. The most important building block of this construction is the concept of unity which is the architectonic principle on which the series of integers depends. The integers must be treated as units which differ from one another only by their place in this series.

[…] we do not attribute an existence independent of our thought, i.e., a transcendental existence, to the integers or to any other mathematical objects. Even though it might be true that every thought refers to an object conceived to exist independently of it, we can nevertheless let this remain an open question. In any event, such an object need not be completely independent of human thought. Even if they should be independent of individual acts of thought, mathematical objects are by their very nature dependent on human thought. Their existence is guaranteed only insofar as they can be determined by thought. They have properties only insofar as these can be discerned in them by thought. But this possibility of knowledge is revealed to us only by the act of knowing itself. Faith in transcendental existence, unsupported by concepts, must be rejected as a means of mathematical proof.

נתחיל מהאמצע. הציטוט השני המודגש מתאר את מה שידענו כבר: שהמתמטיקה האינטואיציוניסטית תתחיל עם המספרים הטבעיים. הציטוט הראשון מתאר יפה את הסובייקטיביות והמנטליות החזקה של האינטואיציוניסטים. הפסקה השלישית מתארת מה האינטואיציוניסטים לא חושבים. המתמטיקה איננה מתארת דבר מלבד משהו שאני בונה במחשבתי. בניגוד לאפלטון, היא איננה מתארת דבר בעולמנו (או בעולם שמעליו). המושגים המתמטים קיימים עד כמה שמחשבות קיימות. כשאנו עושים מתמטיקה עלינו להבין זאת. עלינו להבין שהאובייקטים המתמטיים קיימים רק אם בניתי אותם. לאחר הצגת הדוגמה הראשונה נוכל לראות כי בעיני האינטואיציוניסטים אפלטון הוריש למסורת המתמטית תחושה (גם אם הם אינם מודעים לה) שהאוביקטים המתמטית קיימים במציאות מטאפיסית כלשהיא והם המתמטיקאים רק מגלים אותם ואוספים אותם. תחושה מוטעית זו מוליכה את המתמטיקאים שולל וגורמת להם להסיק מסקנות מפליגות מדי. בתור אנשים משכילים עלינו לבנות מתמטיקה שחפה מאמונה בדברים לא מציאותיים כמו פיות וחדי קרן והוכחות לא קונסטרוקטיביות. על מנת לבצע מתמטיקה אמיתית, עלינו להיות זהירים ולהבין כי המתמטיקה היא רק מבנה מנטלי.

לוגיקה אינטואיציוניסטית

למען הסדר הטוב, נציג בשלב ראשון את הלוגיקה האינטואיציוניסטית. כיצד הם מרשים לעצמם להוכיח דברים. זה לא עומד להיות ברור ממבט ראשון, אבל חשוב לראות את זה לפני שנבין את הדוגמה.

  1. הוכחה של טענה אטומית א' תינתן על ידי בנייה מתמטית "לגיטימית" המראה כי א' נכון.
  2. הוכחה ל-"א' וגם ב'" ניתנת על ידי הוכחה לא' והוכחה ל-ב'.
  3. הוכחה ל-"א' או ב'" ניתנת על ידי הוכחה ל-א' או על ידי הוכחה ל-ב'.
  4. הוכחה ל-"אם א' אז ב'" ניתנת על ידי הפיכת כל הוכחה של א' להוכחה של ב'.
  5. לאבסורד \perp (סתירה) אין הוכחה.
  6. הוכחה ל-"לא א'" ניתנת על ידי הפיכת כל הוכחה של א' להוכחה של הסתירה.

הדבר הראשון שחשוב להגיד זה שמבחינת האינטואיציוניסטים (לפחות הדור הראשון שלהם), להציג קודם את הדרך של האינטואיציוניסטים להוכיח דברים ורק אחר כך את האריתמטיקה האינטואיציוניסטית יוצר תחושה מוטעית. למרות שהחשיבה המקובלת במתמטיקה שמה את המתודה להוכחה לפני המשפטים של התורה עצמה. כיצד נוכל להוכיח דברים לפני שקבענו איך מוכיחים דברים? אז זהו, שאצל האינטואיציוניסטים זה הפוך. מבחינתם קודם כל יש מספרים (יש בראש שלי, לא בעולם), וכתוצאה ממהיגיון המספרי אפשר להסיק את הכללים שניסחתי למעלה. למעשה, אין ממש נוסח אחיד של כללים אינטואיציוניסטים. לאינטרפטציה הזו ספציפית קוראים אינטרפרטציית BHK (על שם בראואר, הייטינג וקולמוגורוב). לא נכנס לזה פה. הדבר השני שאפשר לראות זה שהשאלה שהמשפטים מעלה עונים עליה היא "כיצד ניתן להראות שמשהו הוכח". בדרך כשאנו מדברים על לוגיקה השאלה היא "כיצד ניתן להראות שמשהו הוא אמת?". כלל היסק מקובל בלוגיקה נורמלית הוא "אם א' נכון וכן ב' נכון, אזי 'א' וגם ב" נכון גם הוא". המשפט הזה מתאר מה צריך להיות נכון כדי שטענה מסוימת תהיה נכונה. בלוגיקה אינטואיציוניסטית השאלה היא מה ניתן לבנות – כלומר: מה ניתן להוכיח. כדי להראות שמשהו קיים יש לבנות אותו – להוכיח אותו מתמטית. לכן החוקים שרשמתי הם חוקי בנייה – כיצד ניתן לבנות משפט במתמטיקה.

אריתמטיקה אינטואיציוניסטית

רגע של רענון במתמטיקה. לכל מספר יש הצגה עשרונית. ההצגה העשרונית של חצי היא 0.5, של שליש 0.3333..., ושל פאי (\pi) 3.14159.... חלק מהמספרים אפשר להציג כיחס בין שני מספרים שלמים. חצי הוא \frac{1}{2}, שליש הוא \frac{1}{3}. מספרים שאפשר למצוא להם הצגה כזו נקראים מספרים רציונלים (מהמילה ratio – יחס). את המספר פאי לדוגמה אי אפשר, ולכן הוא נקרא מספר אי-רציונלי. כל מספר שההצגה העשרונית שלו היא סופית (אין אינסוף ספרות אחרי הנקודה), הוא בהכרח רציונלי. מהצד השני חלק מהמספרים שהייצוג העשרוני שלהם אינסופי יכולים להיות רציונלים (כמו שליש), ויכולים גם לא (כמו פאי). הייצוג של פאי מעניין לא רק בגלל שהוא באמת אינסופי, אלא כי הוא גם רנדומלי – אנחנו באמת לא יודעים מה תהיה הספרה הבאה עד שנבדוק.

אני רוצה לבנות מספר, נקרא לו p. כמו שרשום בכלל מספר 1, התיאור שלו חייב להיות "לגיטימי". מתי בנייה בסיסית היא לגיטימית לפי אינטואיציוניסטים? אם נקבע כלל לחישוב הספרה הבאה. באיזה מובן המספרים הטבעיים עצמם הם לגיטימים? במובן שבכל שלב אני יודע את הספרה הבאה (אך לעולם לא את המכלול). באותו מובן כדי לדעת מספר כלשהו מספיק לקבוע כיצד ניתן לחשב את הספרה הבאה. וזהו הכלל לבניה של p (ראה איור): בשורה העליונה אני מתחיל לרשום את הספרות של פאי. בשורה התחתונה אני מתחיל לרשום 0.3333.... בכל שלב אני מוסיף ספרה למעלה ו-3 למטה. בכל שלב אני בודק אם הספרות הבאות של פאי יוצרות את הרצף "98765433210". אם כן, אני עוצר (במילים אחרות: שאר הספרות הם אפס) – סיימתי לכתוב את p. אחרת, אני ממשיך כרגיל. מה שחשוב בדוגמה זה שעד היום לא נמצא רצף כזה של ספרות בייצוג העשרוני של פאי. זה לא אומר שלא יהיה, וזה לא אומר שיהיה – רק שאנחנו לא יודעים כרגע. אם אין רצף כזה, אז נמשיך לרשום 3-ים עד אינסוף ולכן p=\frac{1}{3}. אם יש רצף כזה, אזי p הוא מהסוג 0.3333...3 (אם יש בסך הכל k ספרות אזי p = \frac{10^k-1}{3 \cdot 10^k}).

תהליך הבנייה של המספר p, במקרה שהתהליך נעצר.

תהליך הבנייה של המספר p, במקרה שהתהליך נעצר.

 אז למה שווה p? אנחנו לא יודעים. כל עוד לא נדע האם קיים רצף כזה והיכן לא נוכל לדעת. אנחנו אפילו לא יודעים אם המספר שווה לשליש או לא. פה מתחיל ההבדל בגישה בין חשיבה מתמטית קלאסית לאינטואיציוניסטית. בחשיבה קלאסית, וברוח אפלטון, התשובה קיימת אי שם. ל-p יש ערך. אולי הוא שליש ואולי לא, אבל יש לו (כבר עכשיו) ערך. זה שעוד לא מצאנו או הוכחנו שלא קיים רצף "9876543210" בספרות של פאי אומר שאנחנו מוגבלים. מבחינת המתמטיקה, התשובה "כבר ידועה" – אנחנו פשוט לא יודעים אותה עדיין. אצל האינטואיציוניסטים התמונה שונה. בנינו את המספר אמנם בצורה לגיטימית, אבל לא כל הספרות שלו "נבנו" עדיין במוחנו. בכל שלב אנחנו יכולים אם נרצה לבנות ספרה נוספת, אבל היא לא הייתה עד שלא בנינו אותה. להניח שהיא כן הייתה זה להניח שאובייקטים מתמטים נמצאים באיזה שהיא צורה בעולם בנפרד מהמחשבות שלי, וזה בדיוק מה שאנחנו מנסים להמנע ממנו. לכן p עדיין לא באמת נבנה במובן שאנחנו יודעים את הערך שלו.

בואו נשאל את השאלה הבאה: האם p הוא מספר רציונלי? אם היינו מתמטיקאים נורמלים היינו אומרים שכן. אם קיים רצף כזה, p = \frac{10^k-1}{3 \cdot 10^k} ולכן רציונלי (יחס בין שני שלמים). אם לא נעצור p=\frac{1}{3} ולכן הוא שוב רציונלי. בין אם נעצור מתישהו ובין אם לא, המספר שיווצר הוא רציונלי. לכן p רציונלי בלי קשר לשאלה למה הוא שווה בדיוק. אבל מה אומרים האינטואיציוניסטים? הם אומרים שכדי להתחיל להוכיח את המשפט אתם חייבים להתייחס למלוא הספרות של p, דבר שאיננו יכולים לבצע כי הם לא נבנו עדיין במוחנו. לכן כל ניסיון הוכחה יהיה חייב לבצע מין הנחה מטאפיסית שהתשובה לגבי הערך של p "קיימת איפשהו" (שזו בדיוק ההנחה של המתמטיקאי הקלאסי), ולכן הוכחה כזו בהכרח לא תקינה. לכן אי אפשר להראות ש-p רציונלי. יותר נכון שכרגע אי אפשר. נניח ומחר ימצאו רצף "9876543210" בספרות של פאי. במצב כזה נדע בדיוק למה שווה p ונוכל להראות כי הוא רציונלי. לכן אנחנו רואים שהיכולת להראות דברים במתמטיקה אינטואיציוניסטית הוא עניין שמשתנה בזמן – הוא תלוי במה בניתי עד כה במוחי.

נעבור לשאלה אחרת: האם p הוא לא-רציונלי? אז האמת שאפשר להראות שהמשפט האחרון לא יתכן. כיצד מוכיחים באינטואיציוניסטית שמשהו לא יתכן? לפי כלל 6 יש להראות כי אם היתה בידינו הוכחה למשפט, היא בהכרח מובילה לסתירה. בואו נעשה זאת: נניח ויש בידינו הוכחה לכך ש"p לא רציונלי". מי שהביא את ההוכחה היה בוודאי אינטואיציוניסט מושבע, ולכן היא בהכרח היתה חייבת להתייחס לערך של p. מכאן כחלק מההוכחה אנו יודעים את הערך של p. נסתכל אם כן על הערך של p. אחת משתיים: האופציה הראשונה היא ש-p=\frac{1}{3} . במקרה הזה p הוא רציונלי. הגענו לסתירה להוכחה. לכן כנראה האופציה הזאת לא תתכן. האופציה השניה היא שעצרנו מתישהו ו-p הוא מהסוג p=0.3333...3 וגם כאן, רציונלי. שוב סתירה. לכן הגענו לזה שבכל מקרה הוכחה לכך ש-"p לא רציונלי" בהכרח מובילה לסתירה. לכן הטענה כי "p לא רציונלי" בהכרח לא נכונה. יכול להיות שבא לכם להגיד עכשיו: "רגע, אם הראנו שלא יתכן ש-p לא-רציונלי, אז ברור ש-p רציונלי!". לא ממש, אומר לנו האינטואיציוניסט, אם הסקת ש-p הוא רציונלי בהכרח אתה מתייחס לערך עצמו של p. אם עשית זאת בלי לבנות את p, אז אתה די מניח שהספרות שלו נבנו כבר, אחרת מה בדיוק רציונלי פה? לכן, כדי למנוע אמונה ביצורים מטאפיסיים ומופרכים כמו הספרות החסרות של p, האינטואיציוניסטים לא מרשים לבצע את ההיסק הזה.

אני רוצה לחזור ולהדגיש שלוש נקודות שהבנו מהדוגמה. ראשית, נשים לב לחשיבות באינטואיציוניזם על הקונסטרוקטיביות של ההוכחה המתמטית. כל שלב חייב לוודא באופן חד משמעי כי הדברים שעליהם הוא מדבר באמת נבנו כבר בראש שלי. לכן ההוכחות באינטואיציוניזם יעשו רק בדרכים קונסטרוקטיביות (בנייתיות?) – הם יוכיחו את קיומם של אובייקטים מתמטיים רק אם ניתן להצביע על מלוא המאפיינים שלהם. הקיצוניות של העמדה הזאת מגיעה למצב (כפי שראינו) שנכונות מתמטית מבחינתם, הוא עניין שתלוי בזמן. משפט יכול להיות לא נכון, ובהמשך להתהפך לנכון. השאלה היא פשוט האם הוא נבנה כבר. לכן אצלם המתמטיקה היא באופן חד משמעי המצאה מנטלית. שנית, ראינו שלא ניתן להסיק מכך שלא יתכן ש-p לא רציונלי את היותו רציונלי. בלוגיקה יש לזה שם: "כלל השלישי מן הנמנע". כלל זה אומר שאו ש-א' נכון או ש-"לא א'" נכון. כמו שראינו עכשיו, האינטואיציוניסטים לא מקבלים את זה. ראינו מקרה בו משפט (p הוא רציונלי) ושלילתו (p איננו רציונלי) שניהם לא נכונים. זה נכון שלא יתכן מצב בלוגיקה אנטואיציוניסטית כי הן המשפט והן היפוכו נכונים ביחד, אבל בהחלט יתכן ששניהם לא נכונים ביחד. מכאן מגיע האנטי האינטואיציוניסטי להוכחות על דרך השלילה. אתם מוזמנים להראות כמה שאתם רוצים שהשלילה של טענה לא נכונה. לא תוכלו להסיק מזה את המשפט המקורי (מבלי להסיק דברים מטאפיסיים). שלישית, אפשר לנסח את המשפטים האחרונים טיפה אחרת ולהדגיש שבמתמטיקה אינטואיציוניסטית יש הבדל בין להוכיח דברים על טענה, לבין להוכיח דברים על השלילה שלה. לכן חשוב להבדיל בין "א' לא הוכח" לבין "לא-א' הוכח". כשאנו ואומרים ש-"א' לא הוכח" הכוונה שהוא לא הוכח בינתיים. יתכן והוא יוכח בעתיד ויתכן שלא. לעומת זאת "לא-א' הוכח" הכוונה לכך שהטענה "לא-א'" הוכחה באופן שאיננו גורר סתירה. זה לא אומר שנוכל להפריך את א'.

אינפי אינטואיציוניסטי

בשלב הזה אתם אולי חושבים "מה הקטע שלהם?" או יותר כמו "למה זה טוב?". תשמרו את המחשבות האלה רגע. התחושה העיקרית שעולה היא שהאינטואיציוניסטים (עם סיבה טובה או בלי) מגבילים את חופש התנועה של המתמטיקאים. לכולנו ברור ש-p רציונלי, אבל הנודניקים מרשים לנו רק להגיד שלא יתכן שהוא לא-רציונלי. יופי. אם הייתם צריכים לנחש איך נראה המפעל המתמטי האינטואיציוניסטי כולו (יש כזה), הייתם בטח מנחשים שהוא נראה כמו האח הצולע של המתמטיקה שלנו. הם היו רוצים להגיד את מה שהשאר אומרים אבל יש להם פחות כלי עבודה אז הם מצליחים בקושי. בכל מקרה הייתם מנחשים שאין משפט מתמטי שאינטואיציוניסט אומר שמתמטיקאי קלאסי לא יסכים איתו (בכיוון ההפוך זה יכול לקרות). אז הפתעה: בפרק הזה אני אתן דוגמה מוכרת למשפט שנכון במתמטיקה אינטואיציוניסטית ולא נכון במתמטיקה קלאסית בכלל.

רקע קצר: בואו נדבר על פונקציות ועל גרפים של פונקציות. לצורך הסיפור, לכל פונקציה יש ציור (גרף). ניתן שתי הגדרות:

פונקציה מוגדרת בקטע – פונקציה שמעל כל נקודה על ציר ה-x בקטע יש נקודה של הגרף – אין חורים בציור.

הפונקציה משמאל מלאת חורים בקטע ולכן איננה מוגדרת בו. לעומתה הפונקציה מימין ללא חורים ולכן מוגדרת בקטע.

הפונקציה משמאל מלאת חורים בקטע ולכן איננה מוגדרת בו. לעומתה הפונקציה מימין ללא חורים ולכן מוגדרת בקטע.

פונקציה רציפה בקטע – פונקציה שכדי לצייר את הגרף שלה בקטע לא צריך להרים את העט מהדף. ההגדרה האמיתית (עבור קטע I):

\forall x_{0}\in I\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall x\in I:\left|x-x_{0}\right|<\delta\rightarrow\left|f(x)-f(x_{0})\right|<\varepsilon.

הפונקציה מימין ללא קפיצות ולכן ניתן לצייר אותה מבלי להרים את העט - ולכן היא רציפה. הפונקציה השמאלית כוללת קפיצות ולכן איננה רציפה.

הפונקציה מימין ללא קפיצות ולכן ניתן לצייר אותה מבלי להרים את העט – ולכן היא רציפה. הפונקציה השמאלית כוללת קפיצות ולכן איננה רציפה.

בואו ניקח את הפונקציה הבאה:

f(x)=\begin{cases}  0 & x<\frac{1}{3}\\  1 & x\ge\frac{1}{3}  \end{cases}

הפונקציה אמנם מוגדרת בקטע [0,1] אבל כוללת קפיצה בנקודה \frac{1}{3}, כפי שניתן לראות בגרף הפונקציה:

גרף הפונקציה f(x)

גרף הפונקציה f(x)

אז f(x) היא פונקציה מוגדרת בקטע ולא רציפה בו. אחלה. הנה משפט שבראואר הוכיח (בנה אותו לעצמו בראש או משהו) ב-1923:

משפט הרציפות של בראואר (1923) – כל פונקציה המוגדרת בקטע מסויים בהכרח גם רציפה בו.

אז קודם כל, זה משפט שלא נכון במתמטיקה רגילה וכן נכון במתמטיקה אינטואיציוניסטית. אבל השאלה המעניינת היא: אפילו אצל האינטואיציוניסטים, איך לעזעזל הוא נכון? הרי, לא משנה איך מסתכלים על זה, f היא פוקנציה מוגדרת, ו-f היא לא רציפה. סתירה. אז זהו, ש-f לא באמת מוגדרת. מתי אנחנו אומרים שפונקציה מוגדרת בקטע? אחרי שהוכחנו בצורה קונסטרוקטיבית שהיא אכן מוגדרת. אבל כדי להראות בצורה קונסטרוקטיבית שמשהו מוגדר צריך להראות שבהינתן מספר כלשהו a (עם כלל כלשהו למציאת הספרה הבאה), יש כלל ליצירת המספר f(a) (f של המספר הזה). אתם אולי רואים לאן זה הולך: מהו f(p)? כדי לדעת האם זה 0 או 1 צריך לדעת האם קיים רצף "9876543210" בספרות של פאי. אנחנו עדיין לא יודעים את זה ולכן אין לנו כלל לבניה של  f(p). כלומר, קיימים מספרים (p הוא בוודאות מספר גם אם לא בניתי את כל הספרות שלו) שעבורן (נכון להיום) f לא מוגדר. לכן f לא מוגדרת על כל הישר. אם היא לא מוגדרת אז אין התנגשות עם המשפט של בראואר כי f לא עונה על הרישא.

אבל למה שהמשפט יהיה נכון באופן כללי? אני לא אציג את ההוכחה (אפשר למצוא אותה בספר Intuitionism: An Introduction של הייטינג), אבל באופן גס זה משהו כזה: כדי שפונקציה תוכל לעמוד בטריקים של p ודומיהם, היא צריכה להיות מסוגלת לחשב כל כמות סופית של ספרות של f(x) רק מלדעת כמות סופית כלשהי של ספרות של x. המשפט הזה כמעט שקול להגדרה המתמטית של רציפות שרשמתי מעלה.

מסקנה: לא רק שיש משפטים ברורים מאליהם שלא נכונים באינטואיציוניזם, יש משפטים הזויים שנכונים רק באינטואיציוניזם.

תורת ההוכחות (Proof Theory)

כדי להוסיף עוד שכבה לדיון, אני ארצה בכל זאת לחזור קצת מהטענות של הפסקאות הקודמות. אחרי הצגת הדוגמה עם המספר p עלה הרושם כאילו מתמטיקה אינטואיציוניסטית היא פשוט גרסה מנוונת של מתמטיקה רגילה. לדוגמה במקרה של p אי אפשר להוכיח שהוא רציונלי אבל היה אפשר להוכיח שהוא לא-לא-רציונלי. יש תחום במתמטיקה שנקרא תורת ההוכחות (proof theory) שחוקר בעצמו תורות מתמטיות. במסגרת התורה הזו, מתמטיקאי בשם ולרי גליבנקו (Glivenko) הוכיח בשנת 1929 את הטענה הבאה:

משפט גליבנקו (1929): אם טענה מתמטית t מוכחת במתמטיקה קלאסית, אזי "לא לא t" ניתנת להוכחה במתמטיקה אינטואיציוניסטית, והפוך: אם "לא לא t" מוכחת במתמטיקה אינטואיציוניסטית אזי t ניתנת להוכחה במתמטיקה קלאסית. כלומר, יש שקילות בין הטענות בשני תורות. בניסוח של תורת ההוכחות:

\vdash_{\mbox{CPC}}t\,\,\Longleftrightarrow\,\,\vdash_{\mbox{IPC}}\lnot\lnot t

למתעניינים, המתמטיקאי המוכר קורט גדל (Gödel) הרחיב את המשפט לתרגום מלא בין מערכת מתמטית קלאסית ואינטואיציוניסטית.

קודם כל, שתי השגות: אם תשאלו אינטואיציוניסט הוא לא ממש יאהב את המשפט הזה. ראשית בגלל שהם לא מקבלים את תורת ההוכחות כתורה לגיטימית במתמטיקה והם בכלל לא מוכנים לדון בכך שיש עוד מועמדים. יש רק דרך אחת לבנות מבנים מנטלים וזהו. דבר שני, הטענה בכלל לא נכונה. ראינו לדוגמה את "משפט הרציפות של בראואר" שפשוט לא נכון במתמטיקה קלאסית. כיצד זה יתכן? בגלל שהדברים יותר מורכבים. גליבנקו וגדל מדברים על שני תורות ששקולות לגמרי מבחינת המבנה שלהם מלבד היכולת של התורה האינטואיציוניסטית להשתמש ב"כלל השלישי מן הנמנע". אבל בפועל יש עוד הבדלים, לדוגמה מה באופן בסיסי נחשב "בנייה לגיטימית". הבדלים אלה הופכים את היכולת להשוות בין התורות באופן מסודר לפעולה הרבה יותר מעורפלת (וזו גם אחת הביקורות כלפי האינטואיציוניסטים: שהמבחן שלהם לבנייה חוקית לא מוגדר היטב). אבל בכל זאת. המשפט כן אומר משהו אולי לא חד משמעי אבל כן בעל היקף מסויים, שגורם לנו לפקפק בייחוד של מתמטיקה אינטואיציוניסטית. אם בסוף כל הפילוסופיה והדיבורים קיבלנו את אותה תורה רק שצריך להתחיל את המשפט ב-"לא לא", אז לא עשינו הרבה.

***

אז מה היה לנו פה? במסגרת השאלה "האם המתמטיקה היא תגלית או המצאה?" יצרנו שני צדדים. מצד אחד אפלטון, שהמורשת שלו יצרה את התפיסה המקובלת על מתמטיקה ולוגיקה. בתפיסה זו האמת (המתמטית ובכלל) כבר מונחת על השולחן ואנחנו רק מגלים אותה. מצד שני בראואר והאינטואיציוניזם שלקחו השראה מקאנט. לשיטתם האמת המתמטית היא אמת שאנחנו יוצרים. מבנה מתמטי "קיים" רק ברוחי לאחר שאני בונה אותו בצורה מסודרת. יש לאינטואיציוניסטים נקודה לפחות בדרך שבא הם מאירים לנו את החולשות התפיסה המקובלת. הם מערערים על איזורים בחשיבה המתמטית שרובנו לקחנו כמובנים מאליהם.

המסר אולי הכי חשוב מהדיון הוא שבניגוד למקובל, למתמטיקה יש שורשים פילוסופיים. המתמטיקה המקובלת היום היא תוצאה של שבירת מוסכמות ודיון פילוסופי על מושג האמת המתמטית שהתרחש לאורך המאה התשע עשרה והתעצם עד לתחילת המאה העשרים. בדיון השתתפו מתמטיקאים מהשורה הראשונה (ביניהם ראסל, הילברט, גדל, קנטור ועוד). אפשר אולי אפילו להגיד שהיו לו מנצחים ומפסידים. האינטואיציוניזם היה חלק מהדיון הזה. הוא ענף שהתחיל מיסוד פילוסופי שונה ובאמת יצר מתמטיקה אחרת. אולי הם צודקים ואולי לא. אולי המתמטיקה היא המצאה ואולי תגלית. ככה או ככה, למי שמתעניין בהיסטוריה ובפילוסופיה של המתמטיקה, הם בטוח סיפור טוב.

מודעות פרסומת

ספקנות פילוסופית וכלכלית

נתחיל מנקודה די מוסכמת: אנחנו חושבים על כל מיני דברים. נניח שברגע זה אני מסתכל על המקלדת שלי וחושב עליה. ברגע הבא אני מסתכל אל החלון וחושב על העץ שבעדו. אנחנו מסכימים על העובדה שההכרה שלי אמנם הרגישה אותות חושיים לגבי הדבר הזה שאני קורא לו "מקלדת" או "עץ", ואנחנו מסכימים גם שאני חושב עליו באיזה אופן. כלומר, יש יחס מסויים בין השניים. נקרא ליחס הזה, בין המושא למחשבה על המושא, "יחס ההסתכלות". כלומר: אני מסתכל במוחי על דבר, והקשר בין הדבר למחשבה-עליו נקרא "יחס ההסתכלות". עכשיו ננסה לסבך את העניינים. נניח ואני מסתכל על המקלדת שלי. אני רואה בכל רגע ורגע רק חלק ממנה. לדוגמה, רק שלושה פאות ממנה לכל היותר, ומזוויות שונות וכך הלאה. עולה השאלה, אם בכל רגע אני לא באמת רואה את כל המקלדת, באיזה אופן אפשר להגיד שאני מסתכל על "המקלדת"? האם אני באמת חושב על מה שאני רואה ממש, או על משהו קצת אחר? רחב יותר? או אולי דוגמה טובה יותר: נניח והלכתי לרגע לקחת מים מהמטבח, ובדרך חשבתי על המקלדת. אז אני חושב על משהו באופן די דומה לקודם, אבל מושא ההסתכלות שלי בכלל לא לנגד עיני. או נניח, שאני חושב בדרך חזרה מהמטבח על מקלדת דומה לשלי, אבל לבנה (ולא שחורה). מאודי לא ראיתי מקלדת כזו, אבל אני בפירוש חושב עליה כרגע.

מה הדוגמאות הללו אומרות לנו? הם אומרות לנו ש"יחס ההסתכלות" הוא דבר מורכב. בשלב ראשון, ברור שהוא לא מתייחס למציאות במובן הכי בלתי-אמצעי שלה. אני בפירוש מחזיק במוחי משהו מורכב יותר מאשר תמונה של שלושה פאות של מקלדת. אני מחזיק דימוי של המקדלת ממש. כלומר, יש לי בראש דימוי "מושכל" של המציאות הנגלית לי. כשאני מסתכל במשהו אני למעשה מסתכל בריבוי של תמונות שלו ומדמה לי בראש את ההרכבה ביניהם. בנוסף, הדוגמה של המקלדת הלבנה מראה לנו שהמושא שמאחורי הדימוי שבראשי בכלל לא חייב להיות במציאות. אני בפירוש יכול לדמות לי דברים שלא ראיתי מעולם (אפשר להגיד שכל דימיון כזה הוא שילוב של דברים שראיתי בעבר, אבל זה לא משנה את הנקודה שלי). אז נסכם: ישנו המושא של המחשבה, שהוא הדבר שעליו אנחנו חושבים. וישנו הדימוי – התמונה השכלית שמורכבת מאוסף תמונות של המושא. כמו שראינו, המושא יכול להיות מציאותי או שאינו מציאותי, אבל בפירוש אפשר להצביע עליו. "יחס ההסתכלות" שדיברנו עליו מתאר את הקשר בין המושא לדימוי השכלי שלו.

למעשה, התיאור הדואלי הזה (של מושא ודימוי) מקובל מאד על המסורת הפילוסופית. אריסטו חשב שהשכל מוסיף ל-"חומר" של הדברים (המושאים) את ה-"צורה" שלהם ובכך נוצר הדימוי. בעקבותיו, המסורת הימי-ביניימית האמינה שההכרה שלנו רואה את העולם על ידי כך שהיא מוסיפה עליו את מה שהרמב"ם קרא לו "המושכל" שבדברים. הבעיה התחילה איפה שהוא בתקופת הנאורות. ההתעקשות הספקנית של הנאורים באירופה כנגד התיאולוגיה והמחשבה שקדמה להם החזירה את הפילוסופיה במידה רבה אחורה עד ליוון העתיקה. ליתר דיוק, עד לדיון בין הסופיסטים (Sophists) והפירוניסטים (Pyrrhonists) של אתונה מצד אחד, לבין סוקרטס ותלמידיו (אני כולל בזה את אפלטון ואריסטו) מצד שני. הפעם, בתפקיד הספקנים של עמדו האידיאליסטים והאמפריציסטים (דוגמאות: ברקלי, יום) של המאות ה-17 וה-18. והנקודה שלהם נגד הגישה הדואליסטית שתיארנו, כמו גם בעת העתיקה, היא די חזקה.

הטענה העיקרית של הספקנים היא טענה מטאפיסית-הכרתית שבגדול גורסת שכל התייחסות למושא היא פעולה חסרת שחר. הצימוד הזה בין דימוי (שהוא הכרתי בלבד) לבין מושא (שהוא קשור למציאות החיצונית) מחביא בתוכו אמת לא נעימה. למעשה, אין לנו שום דרך להצביע על המושא הזה. בכל פעם שננסה, נוכל להצביע רק על התמונה שלו (לכאורה) בראשנו. כלומר, נוכל להצביע רק על הדימוי. לכל דבר ועניין, לא ניתן לומר על אף מושא שהוא קיים. יוצא, שעד כמה שזה נוגע לפילוסופיה שמכבדת את עצמה, כל הדימויים שבראשי הם רק דימויים. כל מה שאני יכול להגיד על הדברים שאני מדמה בראשי, זה שאני מדמה אותם בראשי. יתכן והעולם הוא רק משהו שאני מדמה אותו, ויתכן שלא. אינני יכול, כפילוסוף הגון, לדעת מי מהם הוא הנכון. מכאן מגיע המשפט הידוע של ברקלי: "להיות, זה להיות נתפש". באופן דומה טען  לפניו גורגיאס (Gorgias) שיש להבדיל בין מושג של "קיום" לבין המושג של "מחשבה". אין כלל קשר בין השניים, אחרת כל דבר שנדמיין יהא קיים במציאות. לכן, יש להפריד לחלוטין בין המושגים ולהבין שידע על קיום לא יכול להיות מוחזק בנו, אלא רק מחשבות. לכן, כל המשמעות של דימוי (או מחשבה) הוא רק בהיותו דימוי שנתפש במוחי. ברקלי וגורגיאס מנתקים יחד את "יחס ההסתכלות" שבין הדימוי למושא, פשוט בגלל שמבחינה הכרתית ניתן לדבר רק על הראשון. אין משמעות יותר ל-"קיום" או ל-"תפישה" של מושא במציאות, אלא רק לעובדה שאני תופש ברוחי דברים כלשהם.

נוסיף לטענה מעלה גם חיזוק אונטולוגי-מדעני: התחלנו את הפוסט בלחפש תיאוריה (או מודל) שתסביר באופן הקומפקטי ביותר את המשמעות של מושגי האמת והתפישה שלנו. קיבלנו תיאוריה שמצד אחד מתארת יישויות שקראנו להם "מושאים", שקיימים באיזו מציאות חיצונית לנו (לעיתים הם דימיוניים לחלוטין). מצד שני, קיימים בתיאוריה גם "דימויים" שבראשי שלעיתים ניתנים לרדוקציה אל אותם "מושאים", ולעיתים לא (במקרה של דימיון). מבחינת הדרישות של המודל, הוא בפירוש יכול להכיל רק את הדימויים ללא המושאים. לא נתפשר במהלך שכזה על שום ראיה או תצפית, כי כל הראיות שלנו הם למעשה רק דימויים. ומהצד השני, ברור שמבחינה אונטולוגית שיפרנו משמעותית את המודל, כי כעת הוא משתמש בפחות יישויות בסיסיות. כך, מסיבות קומפקטיות הגענו לאותה נקודה. קיומו של עולם שחיצוני לנו וקיומם של מושאים חיצוניים בתוכו בלתי ניתן להוכחה והוא בגדר ספקולציה מיותרת. הדבר היחיד שקיים הוא איזה "אני" לא מוגדר לחלוטין שמדמה דברים בתפישתו, ולא יותר.

מה שנחמד בטענה הכל כך בסיסית הזו כנגד הפילוסופיה כולה, היא שהיא חוזרת מדי פעם במופעים שונים. אספקטים שונים של הפילוסופיה של הפיסיקה המודרנית כוללים אותה (הזהות בין מערכות ייחוס, משלים מסוימים בתורת הקוואנטים) אך גם, במפתיע, בתחומים פחות תיאורטיים. אחד מהם הוא כלכלה. אציג בקצרה טענה מעניינת של זוג הכלכלנים הרדיקליים שמשון ביכלר ויהונתן ניצן שקשורה באופן מהותי לטענה מעלה של ברקלי. ביכלר וניצן מתחילים מלהציג את התיאוריה המקובלת של בועות פיננסיות. המדע המקובל בכלכלה מחלק את הערך של סחורה לשניים: ערך נומינאלי וערך ריאלי. ערך נומינאלי הוא המחיר הממוצע בשוק. את המחיר הזה קל מאד לבדוק פרקטית. מבצעים סקר שוק מקיף מספיק ומגלים את הערך הנומינאלי של המוצר או הסחורה. לעומתו, ההערך הריאלי מיצג באיזה אופן את הערך-"נכון" של הסחורה. ישנם ניסיונות רבים לחישוב המחיר הזה. לדוגמה, אם נרצה לחשב את מחירו הריאלי של ארון בגדים, נסכם את המחירים של חומרי הגלם שלו (עץ, דבק, מסמרי ברזל וכו') ונוסיף להם את ערך העבודה והייצור של החומרים וכך נקבל קירוב למחיר הריאלי. המחיר הריאלי נחשב יציב יחסית ומשתנה באופן איטי. המחיר הנומינאלי לעומתו עלול לזוז ולקפוץ מסיבות "לא טבעיות" כאלה ואחרות. על פי החכמה המקובלת, במצב תקין המחיר בשוק תואם בגדול את המחיר הריאלי של הסחורה. בועה פיננסית מתוארת כסטייה הולכת וגדלה בין המחיר הנומינאלי לריאלי. סטייה כה גדולה חייבת להתנפץ לבסוף על חוף המציאות, והמחיר הנומיאלי נופל (או קופץ) לבסוף למחירו ה-"נכון". נפילה כה חדה עלולה לגרום למשבר פיננסי של ממש והיא אכן ההסבר המקובל לרוב המשברים המחזוריים במאה וחמישים שנה האחרונות.

כמו גורגיאס וברקלי לפניהם, טוענים ביכלר וניצן שהמלך הוא עירום. אני מקווה שהאנלוגיה בשלב הזה מתחילה להתבהר: המחיר הריאלי הוא המושא המוחבא התיאורטי, המחיר הנומינאלי הוא הדימוי הנראה. או כמו שביכלר וניצן אומרים בעצמם:

היחסים הללו בין שתי הספירות [הריאלית והנומינאלית] הינם בעיה עתיקה הקשורה לניכורו של האדם. הבעיה עשויה להופיע כיחס בין הדבר למחשבה על הדבר; כיחסי סובייקט-אובייקט; כזיקת המושג אל הטבע, או כקשר בין האידיאה לבין החומר, וכיו"ב. (ביכלר וניצן 2007)

ביכלר וניצן מטילים ספק בדרך החישוב הבעייתית של המחיר הריאלי. כל אפיסטמולוגיה כבדה מספיק הופכת בסוף לאונטולוגיה, ולכן הם מטילים ספק גם בעצם קיומו של מחיר ריאלי בכלל. בדומה לשני הטענות שהעלתי בשם ברקלי וגורגיאס, גם הם מעלים גם שני טענות עיקריות. ראשית, הם טוענים טענה "אפיסטמולוגית": ניתן לשים את האצבע רק על ערך נומינאלי. בכל פעם שננסה להצביע על ערך של סחורה, נוכל רק להגיד את מחירה בשוק. הרי המחירים של העץ והברזל גם הם נומינאלים, ולכן סכומם לא יכול יכול לבטא את הערך הריאלי. יתר על כן, הרי הכלכלנים מודים בעצמם שבזמן בועה לא ניתן לדעת בוודאות שיש בועה, גם לא על ידי חישוב שכזה של מחירים. לכן, כל התייחסות לאיזה מחיר "פוטנציאלי" או "נכון" הוא לא יותר מאיזה אידיאה מטאפיסית שלא באמת קיימת:

השאלה היא, מה טיב היחסים בין שתי הספירות – הנומינלית-פיננסית והריאלית-מטריאלית? כיצד בדיוק מתממש הקשר הזה? כאן נכנס מדע הכלכלה החדש.

[…] ברור למדעני הכלכלה, שעולם מתוקן, משוכלל ושקוף הוא אידיאה בלבד. מדובר באידיאה טהורה של מחיר. זאת אידיאה אל-זמנית הפועלת על החומר הגולמי ומעצבת אותו. הבעיה היא, שהאידיאה של המחיר הטהור פועלת במרקם של חומר רופס ובלתי אמין: בני-אדם. (ביכלר וניצן 2007)

שנית, ובהתאמה לטענה השנייה שהעלתי, לדעתם הערך הריאלי מיותר מבחינת הנחיצות שלו במודל הכלכלי:

הריאליה של הצבר ההון אינה טמונה ב'יצור', בסטוקים 'מטריאליים', או ב'ידע'. היא נעוצה בכוח – בכוחם של הקפיטליסטים לכפות את רצונם על שאר בני האדם. כוח זה נמדד במחירי ההון ה'נומינליים' בשווקים הפיננסיים. למחירי המניות והאג"חים בבורסה אין קשר ישיר לעולם היצור המטריאלי. הם לא 'משקפים' את הריאליה הקפיטליסטית: הם הם הריאליה הקפיטליסטית. (ביכלר וניצן 2007)

כלומר, המחיר הריאלי אינו נחוץ מבחינה אונטולוגית במודל הכלכלי שלנו. ניתן לדעתם לבנות תורה כלכלית שלמה שלא מניחה את קיומו של מחיר תיאורטי שנמצא מאחורי המחיר בפועל (לדעתם הערך לא מייצג באופן ישיר משהו מטריאלי כמו מידת התועלת החומרית שבו, אלא משהו חברתי יותר: עוצמה פוליטית).

 ***

מה אנחנו מסיקים מכל זה? ראשית, זה נחמד לראות טענות פילוסופיות כבדות משקל חוזרות במופעים שונים גם בדיספלינות שנחשבות מדעיות יותר מפילוסופיה. שנית, נראה לי שלרוב הטענות מסוג זה יש עוצמה דומה וחולשה דומה. הכוח של הטיעון ברור. באופן די פשוט ובהיר הוא שם את רוב ההגות הפילוסופית (או הכלכלית) בכיס הקטן. כדי לחזור ולדבר על עולם חיצוני כמשהו שאפשר להתייחס אליו ברצינות חייבים להתחיל מהדבר היחיד שנשאר: ה-"אני". ובאמת הניסיונות להאבק בספקנות ניסו לבצע ניתוח מסיבי של מושג ה-"אני" ולהסיק ממנו באיזה אופן את ההכרחיות של עולם חיצוני. זו לא משימה טריוויאלית. דקארט ניסה זאת במהלך המפורסם שלו (שמתחיל ב-"אני חושב משמע אני קיים"), קאנט ניסה זאת בפירוש שלו למושג האני כ-"אפרפציה טהורה" והוסרל ניסה לעשות זאת ב"צמצום פנומנולוגי" של האגו. כולם ניסיונות מכובדים, אך גם כבדים ולא אינטואיטיבים ולכן קשים לבחינה. מהצד השני לכל מהלך ספקני מספיק קיצוני מתלווה המחשבה: "טוב די". הכי קל זה להוכיח שאין שום דבר ואי אפשר להגיד שום דבר ולא צריך לעשות כלום. זו הנקודה שתורת-ההכרה מתחילה להראות כדקדקנית וכבדה מדי. התשובה הפשוטה לספקנים תהיה: נכון, אי אפשר להחזיק את האמת ממש, אבל אפשר להתקרב אליה (או בכלכלה: אפשר לנסות ולהתקרב לערך הריאלי). אי אפשר להעביר מידע מאדם לאדם באופן מושלם, אבל יש הבדל בין ג'יבריש למאמר מדעי. יכול להיות שהתפקיד של הספקנים במהלך ההיסטוריה זה לאכזב אותנו קצת. להגיד לנו שערכים כמו "אמת מוחלטת" ו-"הכרה בלתי אמצעית של המציאות החיצונית" או לחילופין של "ערך ריאלי", פשוט לא ניתנים להשגה. מצד שני, הערכים הללו באמת אינם נקודת ציון ידועה, אבל הם יכולים להיות אידיאל שניתן להתקרב אליו אסימפטוטית (כמו "האידיאות המכוונות" של קאנט). התפקיד שלנו, הלא-ספקנים, הוא לחתור אל אותם יעדים נעלים עד כמה שניתן.

רשימת מונחים בתורת ההכרה של עמנואל קאנט

כחלק מהקריאה שלי ב-"ביקורת התבונה הטהורה" אספתי לעצמי משפטים המתארים את המונחים השונים שקאנט משתמש בהם. לאחר שראיתי שאין בעברית אתר המספק רשימת מונחים כזו החלטתי לערוך את הדפים שלי מעט ולהעלות אותם לכאן.

לכל מונח נוסף שמו האנגלי. לכל משפט המבוסס על חלק בספר נוסף העמ' בהפניה למספר העמודים המקורי של המהדורה השנייה.

 

אחדות האפרפציה (The Unity of Apperception), אחדות טרנסצנדנטלית של התודעה העצמית (Transcendental Unity of Self-Consciousness): כלל הכרחי המחייב את כל הדימויים (ההכרות) לבוא בזיקה עם ה-"אני חושב" [עם האפרפציה הטהורה] (B132).

אחדות מנתחת של האפרפציה (Analytical Unity  of Apperception): איחוד הריבוי הכלול במושג (כמו "אדום") עם תודעתי-העצמית (B134).

  • דורשת אחדות מרכיבה (B134).
  • נדרשת לדימוי התודעה העצמית (B134).

אחדות מקורית מרכיבה של האפרפציה (Original Synthetical Unity of Apperception): הרכבה הכרחית אפריורי של כל הדימויים (B135-136).

אנליטיקה (Analytic): מציאת צורת המחשבה בכלל. אבן בוחן שלילית (תנאי הכרחי) לאמת (B84).

אנליטיקה טרנסצנדנטלית (Transcendental Analytic): יסודות ההכרה השכלית הטהורה והעקרונות שבלעדיהם אין לחשוב מושא כלשהוא. תורת ההיגיון של האמת (B87).

אנליטיקה של המושגים (Analytic of Conceptions): ניתוח כושר השכל עצמו, ומציאת האפשרות והשימוש במושגים הטהורים בצורה אפריורית (B90).

אנליטיקה של העקרונות (Analytic of Principles): כללים המראים לכוח-השיפוט כיצד להשתמש במושגי-השכל לגבי התופעות (B171).

אסתטיקה (Aesthetic): מדע על העיקרים של החושניות אפריורי (מדע טהור) (B35).

  • מדע של כללי-החושניות בכלל (B76).

אפרפציה טהורה (Pure Apperception), אפרפציה מקורית (Primitive Apperception): תודעה עצמית במובנה הטרנסצנדנטלי. מגולמת במשפט "אני חושב" (B132).

  • ה-"אני" הטרנסצנדנטלי (B132).

אפרפציה ניסיונית (Empirical Apperception): ה-"אני" הניסיוני (B132). ה-"אני" כפי שאנחנו מדמים אותו לעצמנו בחלל ובזמן.

  • נוצרת על ידי הרכבה תבניתית. בניגוד לתודעה העצמית הטהורה (אפרפציה טהורה), האפרפציה הניסיונית יכולה להפוך להכרה ממש (B158).

גזירה טרנסצנדנטלית (Transcendental Deduction): ברור האופן שבו אנו מסבים את המושגים (הקטגוריות) אפריורית על המושאים (B117).

  • הוכחת התוקף האובייקטיבי של הקטגוריות כתנאים לאפשרות הניסיון (B126).
  • ככלל, בירור טרנסצנדנטלי (Transcendental Exposition) משמעו הסברת המושג כמכונן את האפשרות של הכרות מרכיבות אפריורי (B40).

גזירה מטאפיזית (Metaphysical Deduction): הוכחת המקור האפריורי של הקטגוריות בכלל (B159).

  • מתבצעת על ידי ההוכחה כי כל קטגוריה מקבילה לצורת משפט (B159).
  • ככלל, בירור מטאפיסי (Metaphysical Exposition) משמעו בירור המקור האפריורי הטהור (או המטאפיסי) של המושג הנידון (B38).

דיאלקטיקה טרנסצנדנטלית (Transcendental Dialectic): חקר השימוש בתורת ההיגיון מעבר לניסיון (B87-88).

  • "תורת ההיגיון של התדמית" (B86).
  • ביקורת של התדמית הדיאלקטית (B88).

דימוי (Representation): מונח בעל שימוש רחב. מתייחס להסתכלויות, למושגים ולאידאות. לרוב ב"ביקורת" השכל מעבד דימויים.

  • הקלט של החושניות. בהכרח ניסיוני. (B33-34).

דימוי טהור (Pure Representation): צורה טהורה של חושניות, או הסתכלות טהורה (B34). מכיל דימוי ללא יסוד של תחושה.

הכרה (Knowledge): התכלית הסופית של השכל שיסודותיה הם הסתכלויות ומושגים (B74).

  • אמת (Truth) מתייחסת להכרות. משפט אמיתי אם קיימת התאמה בין המושא להכרה (B82).

הכרה אפוסטריורי (A Posteriori Knowledge): מן הניסיון, הכרה ניסיונית (אמפירית) (B1).

  • כל ההכרות הניסיוניות (אפוסטריורי) הם מרכיבות (B11).

הכרה אפריורי (A Priori Knoledge): הכרה שאינה תלויה בניסיון וברשמי החושים (B2).

  • "משפט הנחשב כאחת עם הכרחיותו" (B3).
  • משפט שיש בו כלליות והכרחיות מדויקת (B4).

הכרה טהורה (Pure Knowledge): הכרה שאין בה יסוד ניסיוני מכל וכל (B3).

הסתכלות (Intuition): האופן הבלתי-אמצעי שבו מתייחסת ההכרה למושאים (B33).

הסתכלות טהורה (Pure Intuition): הסתכלות אפריורי בצורת החושניות (B34-35). ראה: החלל והזמן.

צורת ההסתכלות (Form of the Intuition): הסתכלות טהורה המכילה ריבוי בלבד. החלל והזמן כצורת ההסתכלות בלבד (B160).

הסתכלות צורנית (Formal Intuition): הסתכלות טהורה הכולל ריבוי-הסתכלות ובכך הופכת את החלל והזמן (צורת ההסתכלות) למושאים. מתבצעת על ידי ההרכבה של האפרהנסיה. בשימוש המתמטיקה (B160).

הסתכלות ניסיונית (Empirical Intuition): הסתכלות אפוסטריורי המתייחסת אל המושא באמצעות תחושה (B34).

הריבוי שבהסתכלות הניסיונית (The Manifold in an Empirical Intuition): הסתכלות המכילה בתוכה ריבוי של הסתכלויות ניסיוניות והופכת אותם למושא אחד. נוצר על ידי הרכבה של האפרהנסיה (B160).

  • קיומה קשור באחדות-ההסתכלות. נוצרת באמצעות הקטגוריה והשכל (B144).

הרכבה (Synthesis): פעולת הקישור בין דימויים (B103), והשגת ריבויים בהכרה אחת על ידי פונקציה (מושג) (B103-104).

  • תוצאה של הכוח המדמה (B103).
  • נקרא גם קישור (B130).

הרכבה טהורה (Pure Synthesis): הרכבה של דימויים טהורים. נותנת את מושגי השכל הטהור (B104).

הרכבה תבניתית (figurative Synthesis): הרכבה אפריורית וטרנסצנדנטלית של ריבוי ההסתכלות החושנית (B151).

  • ההרכבה התבניתית כוללת גם חוקי החושניות (B151).
  • נוצרת על ידי הכוח המדמה (B151).

הרכבה שכלית (Intellectual Synthesis): הרכבה אפריורית וטרנסצנדנטלית של ריבוי ההסתכלות בכלל (B151).

  • חשיבה על הקטגוריה גרידא (B151).
  • לא באמת אפשרית: מכילה רק את אחדות האפרפציה והקטגוריות גרידא (B152).

הרכבה של האפרהנסיה (Synthesis of Apprehension): הרכבת הריבוי-שבהסתכלות ניסיונית שעל ידה תתכן תפיסה. הופכת את הריבוי שבהסתכלות למושא (B160).

  • כפופה לקטגוריה (B161).

זמן (Time): צורת החוש הפנימי (Internal Sense) הנותן לכל ההסתכלויות להקשר ביחסים של זמן (B37).

  • צורה של הסתכלות (B36).
  • קובע את יחס הדימויים במצבנו הפנימי (B50).
  • אידאל טרנסצנדנטלי המכונן את הניסיון (B52).
  • מכונן את המושגים "ההיות ביחד" ו-"שינוי" (B67).
  • חל על כל התופעות בכלל (B46).
  • איננו מדמים את עצמנו אלא בזמן (B158-159, B67-69).

חוש (Sense).

חושניות (Sensibility): הכשרון הסביל לקבל דימויים באופן שבו אנו מופעלים על ידי המושאים החיצוניים (הסתכלות) (B33).

  • נותנת הסתכלויות (B33).
  • צורת הקליטות (B43).

חלל (Space): צורת החוש החיצוני (External Sense) המדמה את המושאים בחלל (ומחוצה לנו) (B37).

  • צורה של ההסתכלות (B36).
  • צורה של כל תופעות החושים החיצוניים ולא של הדבר-כשהוא-לעצמו (B42).
  • אידאל טרנסצנדנטלי המכונן את הניסיון (B52).
  • דימוי החלל מכונן את הגיאומטריה (B40-41). לכן קיומה של הגיאומטריה מראה את האפריוריות של החלל.
  • חל על כל התופעות החיצוניות (B39).

טרנסצנדנטלי (Transcendental): העוסק באפשרות של הכרות מרכיבות אפריורי (B40).

  • "העוסק בדרך הכרת העצמים אפריורי" (B25).
  • "שעל ידו אנו מכירים כיצד אפשר להשתמש בדימויים אפריורי וכיצד הם באפשר" (B80-81).
  • "ההבדל בין טרנסצנדנטלי לניסיוני קשור בביקורת ההכרות ולא ביחס ההכרות למושא [באמיתותן]" (B81).

כוח מדמה (Imagination): הכשרון לדמות מושא מתוך ריבוי של הסתכלות (B151).

  • מאפשר את ההרכבה התבניתית (B151).
  • הכשרון לקבוע את החושניות אפריורי (B152).
  • קושר את הריבוי-שבהסתכלות החושנית (B164).
  • תלוי בשכל, מבחינת אחדות הרכבתו השכלית, ובחושניות, מבחינת הריבוי של האפרהנסיה (B164).

כוח מדמה יוצר (Productive Imagination): הכוח המדמה כשהוא "נביעה עצמית" גרידא, כשהוא מדמה מושא בלא נכיחתו בהסתכלות (B152).

כוח מדמה מחזיר (Reproductive Imagination): הכוח המדמה כשהוא מדמה מושא בחושניות (B152).

  • כפוף לחוקים ניסיוניים (לא שכליים) (B152).

מדע-טבע (Natural Science): הפיזיקה הניוטונית.

  • מדע שמושא חקירתו הוא החוקים הסובייקטיביים של הניסיון בכפוף לקטגוריות של השכל (B165).
  • כולל ביסודו משפטים מרכיבים אפריורי (B17).

מושג (Concept): הסוג הפעיל של התפיסה שבאמצעותו פועל השכל.

  • המושג מבוסס על הפונקציה. מתבסס על "הנביעה העצמית של החשיבה" או השכל (B93).
  • באמצעות המושג נחשבות ההסתכלויות בשכל (B125).

מושג ניסיוני (Empirical Concept): שיש בו מן התחושה. הכולל חומר (B74).

מושג טהור (Pure Concept), מושג שכל-טהור (Pure Concept of Understending): צורה של חשיבה על מושא בכלל (B75).

  • ראה: קטגוריה.

מטאפיזיקה (Metaphysics): תורה אשר מצדה האחד חוקרת את יסודות המדע והחשיבה של התבונה, ומצדה השני (הדיאלקטי) מנסה לחרוג ולמצוא הכרות על המעבר לניסיון החושי (Bxiv, Bxviii-xix).

  • מדע אפריורי הכולל ביסודו משפטים מרכיבים אפריורי (B18).

משפט (Judgment): אופן ההבאה של הכרות לכלל אחדות אובייקטיבית של האפרפציה (B141).

  • משפט הוא הכרה בעקיפין של דבר. דימוי של דימוי (B93).
  • כל המשפטים הם פונקציות של האחדות בין דימוינו (B93-94).
  • כל מושג שכלי טהור (ראה קטגוריה) מקביל לצורת משפט (B105).
  • ראה "טבלת הפונקציות ההגיוניות של השכל" (B95).

משפט מנתח (Analytical Judgment): "משפט מסביר" או "משפט מרחיב". (כשהוא חיובי) משפט שבו קשור הנשוא לנושא על -ידי זהות. משפט שאינו מוסיף נשוא חדש על מושג הנושא (B11).

  • כל המשפטים המנתחים הם אפריוריים (B11).

משפט מרכיב (Synthetical Judgement): משפט שבו נוסף לנושא המשפט נשוא חדש, שלא היה כלול בו קודם (B11).

  • משפטים אלו "מרחיבים את הכרתי" (B12).

מתמטיקה טהורה (Pure Mathematics): מדע אפריורי וטהור הכולל משפטים מרכיבים (B14-15). בפועל מתייחס קאנט אל הגיאומטריה האוקלידית ואל החשבון הדיפרנציאלי.

  • כוללת הסתכלויות טהורות (B17).
  • הגיאומטריה אפשרית על ידי ההסתכלות החיצונית הטהורה (ראה חלל) (B41).

ניסיון (Experience).

עצם (Object).

עקרון האחדות המרכיבה של האפרפציה (The Principle of the Synthetical Unity of Apperception): העקרון העליון של כל שימוש בשכל שמשמעו: כל ריבוי של הסתכלות יהא כפוף לתנאים של האחדות המקורית-המרכיבה של האפרפציה. (B136).

  • תנאי אובייקטיבי של כל הכרה (B138).
  • עקרון זה הוא למעשה זהותי ומגולם במשפט "אני חושב" (B138).

קטגוריה (Category): גם "מושג שכל טהור". מושג יסודי של השכל הטהור (B107) המהווה תנאי אפריורי לכל חשיבה בכלל (B126).

  • פונקציה המקנה אחדות-הרכבה של דימויים בהסתכלות (B104-105).
  • כל קטגוריה מקבילה לצורת הגיונית של משפט (B105).
  • קיימות תתי-קטגוריות (B108).
  • הקטגוריה היא המאחדת את הריבוי בהסתכלות עם האחדות ההכרחית של האפרפציה (B143).
  • כלל של השכל בלבד. כל כשרונו הוא בפעולה להביא את ההרכבה של ריבוי הסתכלויות לידי אחדות של האפרפציה (B145).
  • אין לקטגוריות שימוש אחר להכרת הדברים, אלא במידה שמניחים אותן כמושאים של ניסיון באפשר (B147-148).
  • הקטגוריות הם מושגים המצווים חוקים אפריורי לתופעות (B163).
  • כל התופעות בטבע כפופות מבחינת קישורן לקטגוריות (B164-165).

קישור (Conjunction, Combination): הפעולה של "הנביעה העצמית" של כושר-הדימוי (B130).

  • דימוי של האחדות-המרכיבה של הריבוי (B131).

קליטות (Receptivity): הכשרון לקבל דימויים (במובן של רשמי החושים) (B33).

  • החושניות היא צורת הקליטות (B43).

רשמים חיצוניים או חושניים (Sensuous Impressions).

שכל (Understanding): משווה בין דימויים ומעבד רשמים-חיצוניים לכדי הכרת עצמים (B1).

  • חושב את ההסתכלויות ויוצר מהם מושגים (B33).
  • "הכשרון לחשוב מושא של ההסתכלות החושנית". "הנביעה של ההכרה" (B75).
  • באופן שלילי: כושר הכרה שאינו חושני (שאינו יוצר הסתכלויות). (B92).
  • באופן חיובי: הכושר לחרוץ משפטים (על ידי מושגים, או פונקציות) (B94).זהו כושר דיסקורסיבי (הגיוני) ולא אינטואיטיבי (אסתטי) (B93).
  • מקשר דימויים על פי מושגים על ידי ההרכבה (B130).
  • כפוף לעקרון האחדות של האפרפציה (B139).

תבונה (Reason): הכשרון המעלה את עקרונות ההכרה אפריורי (B24).

תבונה טהורה (Pure Reason): הכשרון המעלה את העקרונות להכרות אפריורי מכל וכל (הכרות טהורות) (B24).

ביקורת התבונה הטהורה (Critique of Pure Reason): הערכה של מקורות ושל גבול התבונה. הכנה לשיטה (B25).

  • מתחלקת (ככל ביקורת) לתורת היסודות ולתורת המתודה (B29).

תופעה (Phenomenon): מושא ניסיוני של ההכרה (B34).

חומר התופעה (Phenomenon Matter): היסוד בתופעה הקשור לתחושה (B34).

צורת התופעה (Phenomenon Form): היסוד הקובע שאפשר לסדר את ריבוי התופעה ביחסים (B34).

תורת ההיגיון (Logic): מדע של כללי השכל בכלל (B76).

תורת ההיגיון הכללית הטהורה (Pure General Logic): תורה אפריורית של השכל, צורה של החשיבה בכלל (B78).

תורת ההיגיון הטרנסצנדנטלית (Transcendental Logic): עוסקת בחוקי השכל והתבונה, עד כמה שהם מתייחסים אפריורי למושאים (B81).

תורת הגיון שימושית (Applied Logic): תיאור של השכל בתנאים מקריים של הסובייקט, הנתונים באורח ניסיוני (B78-79).

תחושה (Sensation): פעילותו של מושא על כושר הדימוי (B34).

תפיסה (Perception): .תודעה ניסיונית של הריבוי-שבהסתכלות ניסיונית (B160).

  • תלויה בהרכבה של האפרהנסיה ולכן גם בקטגוריות (B164).